運動方程式

運動方程式は、物体に働く合力と加速度を結びつける式です。高校物理では、質量が一定の物体に対して

$$\sum F = ma$$

と書きます。検索で「運動方程式」を調べるときにまず押さえたいのは、$F=ma$ は「力があると速度が変わる」ではなく、「合力があると加速度が生まれる」という関係だという点です。

加速度の向きは合力の向きと同じです。また、質量 $m$ が大きいほど、同じ合力でも加速度は小さくなります。つまり運動方程式は、「どの向きに、どれだけ速さの変わり方が出るか」を決めるルールです。

運動方程式とは何を表す式か

運動方程式の中心は、力が直接速度を決めるのではなく、速度の変化を決めることです。力があれば加速度が生まれ、その加速度が続くと速度が変わります。

合力が $0$ なら

$$\sum F = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0$$

です。このとき物体は止まり続けるか、等速直線運動を続けます。加速度が $0$ でも、速度が $0$ とは限りません。

いつ $F=ma$ を使えるか

この形の $F=ma$ は、質量を一定とみなせる問題で使います。高校物理の台車、斜面、落下、ばねの多くはこの条件で扱えます。

一方で、燃料を消費するロケットのように質量が変わる場面では、単純に $F=ma$ だけで済ませないほうが安全です。使う前に、「この問題は質量一定で見てよいか」を確認します。

運動方程式の立て方

1. 物体を1つ選ぶ。
2. その物体に働く力を図にする。
3. 正の向きを決める。
4. 各向きで合力をつくる。
5. $\sum F = ma$ を立てて加速度を求める。

大事なのは、最初から $ma$ に数値を入れないことです。先に力を整理し、最後に残った合力で式を立てます。斜面や2次元運動では、力を成分に分けて $x$ 方向、$y$ 方向ごとに考えるのが基本です。

例題: 摩擦がある水平面で加速度を求める

質量 $2\,\mathrm{kg}$ の物体を、右向きに $10\,\mathrm{N}$ で引くとします。左向きには摩擦力 $4\,\mathrm{N}$ が働いています。質量は一定とします。

右向きを正にすると、合力は

$$\sum F = 10 - 4 = 6\,\mathrm{N}$$

です。ここで初めて運動方程式を使うと、

$$6 = 2a$$

となるので、

$$a = 3\,\mathrm{m/s^2}$$

です。加速度が右向きなのは、合力が右向きだからです。

この例のポイントは、$10\,\mathrm{N}$ をそのまま使わないことです。摩擦も含めて考え、最後に残る合力 $6\,\mathrm{N}$ を使います。運動方程式で迷ったら、「入れるのは1つの力ではなく合力」と確認すると整理しやすくなります。

運動方程式でよくある間違い

合力ではなく1つの力を使う

最も多いミスです。運動方程式に入れるのは合力であって、押す力や重力そのものではありません。

向きを決めずに式を書く

右を正にするか左を正にするかを決めないと、符号がぶれます。向きを先に決めれば、左向きの力を負で入れるだけです。

運動方程式と等加速度公式を混同する

$$v = v_0 + at,\qquad x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$

のような式は、等加速度運動の公式です。これらは運動方程式そのものではありません。先に運動方程式で $a$ を求め、そのあと必要なら速度や位置の公式に進みます。

つり合いと運動を別物だと思う

静止している物体でも、等速で動く物体でも、加速度が $0$ なら

$$\sum F = 0$$

です。つり合いも運動方程式の中に含まれています。

運動方程式はどんな場面で使うか

運動方程式は、台車、斜面、エレベーター、落下運動、円運動など、力から運動を決めたい場面で使います。特に「まず加速度を出したい」問題では出発点になります。

自由体図と組み合わせるとさらに使いやすくなります。図で力を整理してから式にすると、符号のミスや力の抜け漏れがかなり減ります。

覚え方は「合力 -> 加速度 -> 速度の変化」

運動方程式は、「合力が加速度を決め、その加速度が速度や位置の変化につながる」と見ると整理しやすくなります。力を見てすぐ速度を決めようとすると、途中の加速度を飛ばして混乱しやすくなります。

次に試すなら

同じ例で、引く力を $14\,\mathrm{N}$ に変えたら加速度がどう変わるかを自分で計算してみてください。1つの数値だけを変えて比べると、運動方程式の役割がかなりはっきり見えてきます。