Εξισώσεις Κίνησης

Η εξίσωση κίνησης είναι ο τύπος που συνδέει τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα με την επιτάχυνσή του. Στη φυσική του λυκείου, για σώμα σταθερής μάζας τη γράφουμε ως:

$\sum F = ma$

Όταν αναζητάτε «εξισώσεις κίνησης», το πρώτο πράγμα που πρέπει να έχετε κατά νου είναι ότι το $F=ma$ δεν σημαίνει απλώς «αν υπάρχει δύναμη, αλλάζει η ταχύτητα», αλλά ότι «αν υπάρχει συνισταμένη δύναμη, παράγεται επιτάχυνση».

Η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι ίδια με την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα $m$, τόσο μικρότερη είναι η επιτάχυνση για την ίδια συνισταμένη δύναμη. Με άλλα λόγια, η εξίσωση κίνησης είναι ο κανόνας που καθορίζει «προς ποια κατεύθυνση και πόσο μεταβάλλεται η ταχύτητα».

Τι αναπαριστά πραγματικά η εξίσωση κίνησης

Ο πυρήνας της εξίσωσης κίνησης είναι ότι η δύναμη δεν καθορίζει άμεσα την ταχύτητα, αλλά τη μεταβολή της ταχύτητας. Μια δύναμη δημιουργεί επιτάχυνση, και αν αυτή η επιτάχυνση διατηρηθεί, η ταχύτητα μεταβάλλεται.

Αν η συνισταμένη δύναμη είναι $0$, τότε:

$\sum F = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0$

Στην περίπτωση αυτή, το σώμα είτε θα παραμείνει ακίνητο είτε θα συνεχίσει την ευθύγραμμη ομαλή κίνησή του. Ακόμη και αν η επιτάχυνση είναι $0$, αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η ταχύτητα είναι $0$.

Πότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το $F=ma$;

Αυτή η μορφή του $F=ma$ χρησιμοποιείται σε προβλήματα όπου η μάζα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή. Τα περισσότερα προβλήματα φυσικής λυκείου με αμαξίδια, κεκλιμένα επίπεδα, ελεύθερη πτώση και ελατήρια μπορούν να αντιμετωπιστούν υπό αυτή την προϋπόθεση.

Από την άλλη, σε σενάρια όπου η μάζα μεταβάλλεται — όπως ένας πύραυλος που καταναλώνει καύσιμα — είναι ασφαλέστερο να μη βασίζεστε αποκλειστικά στο $F=ma$. Πριν το εφαρμόσετε, ελέγχετε πάντα: «Μπορώ σε αυτό το πρόβλημα να θεωρήσω τη μάζα σταθερή;»

Πώς στήνουμε την εξίσωση κίνησης

1. Επιλέξτε ένα μόνο σώμα.
2. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το σώμα.
3. Ορίστε τη θετική κατεύθυνση.
4. Υπολογίστε τη συνισταμένη δύναμη για κάθε κατεύθυνση.
5. Στήστε την $\sum F = ma$ για να βρείτε την επιτάχυνση.

Το κλειδί είναι να μην αρχίσετε βάζοντας αριθμούς στο $ma$ από την αρχή. Οργανώστε πρώτα τις δυνάμεις και έπειτα στήστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη συνισταμένη δύναμη που προκύπτει. Για κεκλιμένα επίπεδα ή κίνηση σε δύο διαστάσεις, η βασική προσέγγιση είναι να αναλύσετε τις δυνάμεις σε συνιστώσες και να εξετάσετε χωριστά την κατεύθυνση $x$ και την κατεύθυνση $y$.

Παράδειγμα: Εύρεση επιτάχυνσης σε οριζόντια επιφάνεια με τριβή

Έστω ότι ένα σώμα μάζας $2\,\mathrm{kg}$ έλκεται προς τα δεξιά με δύναμη $10\,\mathrm{N}$. Μια δύναμη τριβής $4\,\mathrm{N}$ ασκείται προς τα αριστερά. Υποθέτουμε ότι η μάζα είναι σταθερή.

Θεωρώντας θετική την κατεύθυνση προς τα δεξιά, η συνισταμένη δύναμη είναι:

$\sum F = 10 - 4 = 6\,\mathrm{N}$

Εφαρμόζοντας εδώ την εξίσωση κίνησης, παίρνουμε:

$6 = 2a$

Επομένως:

$a = 3\,\mathrm{m/s^2}$

Η επιτάχυνση είναι προς τα δεξιά, επειδή η συνισταμένη δύναμη είναι προς τα δεξιά.

Το νόημα αυτού του παραδείγματος είναι να μη χρησιμοποιήσετε τα $10\,\mathrm{N}$ ως έχουν. Πρέπει να λάβετε υπόψη την τριβή και να χρησιμοποιήσετε τη συνισταμένη δύναμη $6\,\mathrm{N}$ που προκύπτει. Αν κολλήσετε με την εξίσωση κίνησης, θυμηθείτε: «Στην εξίσωση μπαίνει η συνισταμένη δύναμη, όχι μία μεμονωμένη δύναμη».

Συχνά λάθη με την εξίσωση κίνησης

Χρήση μίας μεμονωμένης δύναμης αντί της συνισταμένης

Αυτό είναι το πιο συχνό λάθος. Αυτό που βάζετε στην εξίσωση κίνησης είναι η συνισταμένη δύναμη, όχι μόνο η δύναμη ώθησης ή μόνο η βαρύτητα.

Γράψιμο της εξίσωσης χωρίς να ορίσετε κατεύθυνση

Αν δεν αποφασίσετε αν θετική είναι η δεξιά ή η αριστερή κατεύθυνση, τα πρόσημά σας θα είναι ασυνεπή. Μόλις ορίσετε την κατεύθυνση, απλώς εισάγετε τις δυνάμεις που δρουν αντίθετα ως αρνητικές.

Σύγχυση της εξίσωσης κίνησης με τους τύπους της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης

Εξισώσεις όπως:

$v = v_0 + at,\qquad x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

είναι τύποι της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης. Δεν είναι η ίδια η εξίσωση κίνησης. Πρώτα, χρησιμοποιήστε την εξίσωση κίνησης για να βρείτε το $a$, και έπειτα προχωρήστε στους τύπους ταχύτητας ή θέσης αν χρειάζεται.

Αντίληψη της ισορροπίας και της κίνησης ως διαφορετικών πραγμάτων

Είτε το σώμα είναι ακίνητο είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα, αν η επιτάχυνση είναι $0$, τότε:

$\sum F = 0$

Η ισορροπία είναι απλώς μια ειδική περίπτωση μέσα στην εξίσωση κίνησης.

Πότε να χρησιμοποιείτε την εξίσωση κίνησης

Χρησιμοποιήστε την εξίσωση κίνησης όποτε θέλετε να προσδιορίσετε την κίνηση από τις δυνάμεις — όπως σε αμαξίδια, κεκλιμένα επίπεδα, ανελκυστήρες, σώματα που πέφτουν ή κυκλική κίνηση. Είναι το σημείο εκκίνησης για κάθε πρόβλημα όπου ο στόχος είναι «να βρεθεί πρώτα η επιτάχυνση».

Γίνεται ακόμη πιο ισχυρή όταν συνδυάζεται με ένα Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος (FBD). Η οπτική οργάνωση των δυνάμεων πριν γράψετε την εξίσωση μειώνει σημαντικά τα λάθη προσήμων και τις δυνάμεις που ξεχνιούνται.

Πώς να το θυμάστε: «Συνισταμένη Δύναμη $\rightarrow$ Επιτάχυνση $\rightarrow$ Μεταβολή Ταχύτητας»

Είναι ευκολότερο να οργανώσετε τη σκέψη σας αν το δείτε ως εξής: «Η συνισταμένη δύναμη καθορίζει την επιτάχυνση, και αυτή η επιτάχυνση οδηγεί σε μεταβολές ταχύτητας και θέσης». Αν προσπαθήσετε να προσδιορίσετε την ταχύτητα απευθείας από τη δύναμη, παραλείπετε το ενδιάμεσο βήμα της επιτάχυνσης και είναι πιο πιθανό να μπερδευτείτε.

Δοκιμάστε αυτό στη συνέχεια

Χρησιμοποιώντας το ίδιο παράδειγμα, δοκιμάστε να υπολογίσετε μόνοι σας πώς αλλάζει η επιτάχυνση αν αλλάξετε τη δύναμη έλξης σε $14\,\mathrm{N}$. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα αφού αλλάξετε μόνο μία τιμή, ο ρόλος της εξίσωσης κίνησης γίνεται πολύ πιο σαφής.