Fonction de Green

La fonction de Green est l'outil standard pour résoudre une équation différentielle linéaire avec un terme source une fois les conditions aux limites ou initiales fixées. En termes simples, elle indique comment le système répond à une source ponctuelle unitaire placée en $\xi$.

Pour un opérateur linéaire $L$, une fonction de Green $G(x,\xi)$ est définie par le problème à source ponctuelle

$$L\,G(x,\xi) = \delta(x-\xi)$$

dans la variable $x$, avec les mêmes conditions aux limites ou initiales que doit satisfaire la solution finale. Ici, $\delta(x-\xi)$ est le delta de Dirac, une distribution qui représente une source unitaire concentrée en $\xi$.

Si une telle fonction de Green existe et que le problème est linéaire, alors la solution de

$$L\,u(x) = f(x)$$

peut souvent s'écrire sous la forme

$$u(x) = \int G(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.$$

C'est l'idée principale : résoudre une fois le problème à source ponctuelle, puis combiner ces réponses ponctuelles pour traiter une source générale $f$.

Ce que signifie une fonction de Green

La source delta est ce qui rend la définition utile. Au lieu de résoudre immédiatement l'équation complète, on commence par demander la réponse à l'entrée la plus concentrée possible.

On peut donc lire $G(x,\xi)$ comme « l'effet en $x$ d'une impulsion unitaire appliquée en $\xi$ ». Une source plus compliquée $f$ est alors traitée comme une superposition continue de sources ponctuelles. Cette étape ne fonctionne que parce que le problème est linéaire.

Pourquoi les conditions aux limites changent la réponse

Une fonction de Green n'est pas déterminée par le seul opérateur différentiel. Elle appartient au problème complet, y compris ses conditions.

Par exemple, l'opérateur $-u''$ sur $0<x<1$ avec $u(0)=u(1)=0$ a une fonction de Green différente de celle du même opérateur avec des conditions aux limites de Neumann. L'équation peut sembler identique, mais les solutions admissibles changent, donc le noyau change aussi.

C'est l'une des erreurs les plus fréquentes. Il n'existe pas une unique fonction de Green pour « l'équation » à moins que les conditions ne fassent déjà partie de l'énoncé.

Exemple détaillé : le problème de Dirichlet pour $-u''(x)=f(x)$

Considérons le problème aux limites

$$-u''(x) = f(x), \qquad 0 < x < 1,$$

avec

$$u(0)=0, \qquad u(1)=0.$$

Pour ce problème précis, la fonction de Green est

$$G(x,\xi) = \begin{cases} x(1-\xi), & x \le \xi, \\ \xi(1-x), & x \ge \xi. \end{cases}$$

Elle est continue en $x$, s'annule en $x=0$ et $x=1$, et sa dérivée première a le saut correct en $x=\xi$. C'est ce saut qui produit la source delta dans l'équation $-G''(x,\xi)=\delta(x-\xi)$.

Une fois le noyau connu, tout terme source pour ce même problème aux limites utilise la même formule :

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.$$

Choisissons un terme source simple :

$$f(x)=1.$$

Alors

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)\, d\xi = \int_0^x \xi(1-x)\, d\xi + \int_x^1 x(1-\xi)\, d\xi.$$

Calculons chaque partie :

$$\int_0^x \xi(1-x)\, d\xi = (1-x)\frac{x^2}{2},$$ $$\int_x^1 x(1-\xi)\, d\xi = x\frac{(1-x)^2}{2}.$$

En les additionnant, on obtient

$$u(x)=\frac{x(1-x)}{2}.$$

Une vérification rapide le confirme :

$$u'(x)=\frac{1-2x}{2}, \qquad u''(x)=-1,$$

donc

$$-u''(x)=1=f(x),$$

et les valeurs aux limites sont

$$u(0)=0, \qquad u(1)=0.$$

Cet exemple montre clairement l'intérêt de la méthode. On ne reconstruit pas la méthode pour chaque nouveau $f$ ; on garde le même noyau et on ne change que l'intégrale.

Erreurs fréquentes avec les fonctions de Green

1. Traiter les fonctions de Green comme si elles s'appliquaient de la même manière aux problèmes non linéaires. L'étape de superposition dépend de la linéarité.
2. Oublier que les conditions aux limites ou initiales font partie de la définition.
3. Supposer que le noyau doit toujours être symétrique. La symétrie demande en général une structure supplémentaire, comme un cadre auto-adjoint approprié.
4. Confondre une fonction de Green avec une solution fondamentale. Elles sont étroitement liées, mais ce ne sont pas toujours les mêmes objets.
5. Utiliser la formule intégrale sans vérifier qu'une fonction de Green existe pour ce problème particulier.

Où les fonctions de Green sont utilisées

Les fonctions de Green apparaissent dans les équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles dès qu'un problème linéaire est piloté par un terme source. Elles sont courantes en électrostatique, en diffusion, dans les problèmes d'ondes, en mécanique quantique et en élasticité.

Dans les cadres linéaires invariants dans le temps, elles sont aussi étroitement liées aux réponses impulsionnelles. Le vocabulaire change selon les domaines, mais l'idée reste similaire : comprendre la réponse à une entrée concentrée, puis construire la réponse à une entrée générale à partir de celle-ci.

Une façon rapide de s'en souvenir

Si vous oubliez la définition formelle, retenez cette version :

$$\text{Fonction de Green} = \text{réponse à une source ponctuelle}.$$

La solution complète s'obtient ensuite en additionnant ces réponses à des sources ponctuelles sur tout le domaine, ce que fait précisément l'intégrale.

Essayez avec un terme source similaire

Gardez les mêmes conditions aux limites, mais remplacez $f(x)=1$ par $f(x)=x$. Le noyau reste le même, et seule la dernière intégrale change :

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)\,\xi\, d\xi.$$

C'est une bonne étape suivante, car elle sépare clairement les deux éléments qui varient : la fonction de Green appartient au cadre du problème, tandis que le terme source peut changer d'un cas à l'autre. Si vous voulez aller plus loin, essayez votre propre version avec une autre source et vérifiez l'intégrale obtenue à l'aide des conditions aux limites.