그린 함수

그린 함수는 경계조건이나 초기조건이 정해진 뒤, 소스항이 있는 선형 미분방정식을 푸는 표준 도구입니다. 쉽게 말해, $\xi$에 단위 점원을 놓았을 때 계가 어떻게 반응하는지를 알려줍니다.

선형 연산자 $L$에 대해, 그린 함수 $G(x,\xi)$는 다음 점원 문제로 정의됩니다.

$$L\,G(x,\xi) = \delta(x-\xi)$$

여기서 변수는 $x$이고, 최종 해가 만족해야 하는 것과 같은 경계조건 또는 초기조건을 함께 부과합니다. 여기서 $\delta(x-\xi)$는 디랙 델타로, $\xi$에 집중된 단위 소스를 나타내는 분포입니다.

이런 그린 함수가 존재하고 문제가 선형이면, 다음 방정식의 해

$$L\,u(x) = f(x)$$

는 흔히 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$u(x) = \int G(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.$$

핵심 아이디어는 이것입니다. 점원 문제를 한 번 풀어 두고, 그 점응답들을 합쳐서 일반적인 소스 $f$를 처리하는 것입니다.

그린 함수의 의미

델타 소스가 이 정의를 유용하게 만듭니다. 처음부터 전체 방정식을 바로 푸는 대신, 먼저 가장 집중된 입력에 대한 반응을 묻는 것입니다.

그래서 $G(x,\xi)$는 "$\xi$에서 가한 단위 충격이 $x$에 미치는 효과"로 읽을 수 있습니다. 더 복잡한 소스 $f$는 점원들의 연속적인 중첩으로 다룹니다. 이 단계가 가능한 이유는 문제가 선형이기 때문입니다.

경계조건이 답을 바꾸는 이유

그린 함수는 미분 연산자만으로 정해지지 않습니다. 전체 문제, 즉 조건까지 포함한 설정에 속합니다.

예를 들어, $0<x<1$에서 $u(0)=u(1)=0$인 조건 아래의 연산자 $-u''$는, 같은 연산자라도 노이만 경계조건을 붙였을 때와 다른 그린 함수를 가집니다. 방정식은 같아 보여도 허용되는 해가 달라지므로 커널도 달라집니다.

이것은 가장 흔한 실수 중 하나입니다. 조건이 이미 문제의 일부로 주어지지 않았다면, "그 방정식의" 그린 함수가 하나만 있는 것은 아닙니다.

계산 예제: $-u''(x)=f(x)$의 디리클레 문제

다음 경계값 문제를 생각해 봅시다.

$$-u''(x) = f(x), \qquad 0 < x < 1,$$

그리고

$$u(0)=0, \qquad u(1)=0.$$

이 특정 문제의 그린 함수는 다음과 같습니다.

$$G(x,\xi) = \begin{cases} x(1-\xi), & x \le \xi, \\ \xi(1-x), & x \ge \xi. \end{cases}$$

이 함수는 $x$에 대해 연속이고, $x=0$과 $x=1$에서 0이 되며, 일차 도함수는 $x=\xi$에서 올바른 점프를 가집니다. 바로 그 점프 때문에 방정식 $-G''(x,\xi)=\delta(x-\xi)$에서 델타 소스가 생깁니다.

이 커널을 알고 나면, 같은 경계값 문제의 모든 소스항에 대해 같은 공식을 사용합니다.

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.$$

간단한 소스항 하나를 골라 봅시다.

$$f(x)=1.$$

그러면

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)\, d\xi = \int_0^x \xi(1-x)\, d\xi + \int_x^1 x(1-\xi)\, d\xi.$$

각 부분을 계산하면

$$\int_0^x \xi(1-x)\, d\xi = (1-x)\frac{x^2}{2},$$ $$\int_x^1 x(1-\xi)\, d\xi = x\frac{(1-x)^2}{2}.$$

이를 더하면

$$u(x)=\frac{x(1-x)}{2}.$$

간단히 확인해 보면

$$u'(x)=\frac{1-2x}{2}, \qquad u''(x)=-1,$$

따라서

$$-u''(x)=1=f(x),$$

그리고 경계값은

$$u(0)=0, \qquad u(1)=0.$$

이 예제는 장점을 분명하게 보여 줍니다. 새로운 $f$가 나올 때마다 방법을 다시 만들 필요가 없습니다. 같은 커널을 유지하고 적분만 바꾸면 됩니다.

그린 함수에서 자주 하는 실수

1. 비선형 문제에도 그린 함수가 같은 방식으로 작동한다고 생각하는 것. 중첩 단계는 선형성에 의존합니다.
2. 경계조건이나 초기조건이 정의의 일부라는 점을 잊는 것.
3. 커널이 항상 대칭이어야 한다고 가정하는 것. 대칭성은 보통 적절한 자기수반 구조 같은 추가 조건이 필요합니다.
4. 그린 함수와 기본해를 혼동하는 것. 서로 밀접하지만 항상 같은 대상은 아닙니다.
5. 그 문제에 대해 그린 함수가 실제로 존재하는지 확인하지 않고 적분 공식을 사용하는 것.

그린 함수는 어디에 쓰이나요?

그린 함수는 소스항에 의해 구동되는 선형 문제라면 상미분방정식과 편미분방정식 모두에서 등장합니다. 정전기학, 확산, 파동 문제, 양자역학, 탄성론에서 자주 쓰입니다.

선형 시불변 상황에서는 임펄스 응답과도 매우 가깝습니다. 분야에 따라 용어는 달라지지만, 아이디어는 비슷합니다. 하나의 집중된 입력에 대한 반응을 이해한 뒤, 그것을 바탕으로 일반 입력에 대한 반응을 구성하는 것입니다.

빠르게 기억하는 방법

형식적인 정의가 기억나지 않는다면, 이 버전만 기억해도 됩니다.

$$\text{Green's function} = \text{response to one point source}.$$

그다음 전체 해는 정의역 전체에서 그런 점원 응답들을 합한 것으로 얻어지며, 그 역할을 적분이 해 줍니다.

비슷한 소스항으로 연습해 보기

같은 경계조건을 유지한 채 $f(x)=1$을 $f(x)=x$로 바꿔 보세요. 커널은 그대로이고, 마지막 적분만 바뀝니다.

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)\,\xi\, d\xi.$$

이것은 다음 단계 연습으로 좋습니다. 무엇이 바뀌고 무엇이 고정되는지를 분명히 나눠 주기 때문입니다. 그린 함수는 문제 설정에 속하고, 소스항은 경우에 따라 바뀔 수 있습니다. 더 나아가고 싶다면 다른 소스를 직접 넣어 보고, 얻은 적분 결과가 경계조건과 맞는지도 확인해 보세요.