ฟังก์ชันกรีน

ฟังก์ชันกรีนเป็นเครื่องมือมาตรฐานสำหรับแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีพจน์แหล่งกำเนิด เมื่อกำหนดเงื่อนไขขอบเขตหรือเงื่อนไขต้นไว้แล้ว พูดแบบง่าย ๆ มันบอกว่าระบบตอบสนองอย่างไรต่อแหล่งกำเนิดแบบจุดขนาดหนึ่งหน่วยที่วางไว้ที่ $\xi$

สำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้น $L$ ฟังก์ชันกรีน $G(x,\xi)$ นิยามจากปัญหาแหล่งกำเนิดแบบจุด

$$L\,G(x,\xi) = \delta(x-\xi)$$

ในตัวแปร $x$ พร้อมกับเงื่อนไขขอบเขตหรือเงื่อนไขต้นเดียวกันกับที่คำตอบสุดท้ายต้องเป็นไปตามนั้น โดยที่ $\delta(x-\xi)$ คือเดลตาของดิแรก ซึ่งเป็นดิสรทริบิวชันที่แทนแหล่งกำเนิดหนึ่งหน่วยที่กระจุกตัวอยู่ที่ $\xi$

ถ้าฟังก์ชันกรีนดังกล่าวมีอยู่และปัญหาเป็นเชิงเส้น คำตอบของ

$$L\,u(x) = f(x)$$

ก็มักเขียนได้เป็น

$$u(x) = \int G(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.$$

นี่คือแนวคิดหลัก: แก้ปัญหาแหล่งกำเนิดแบบจุดเพียงครั้งเดียว แล้วนำการตอบสนองแบบจุดเหล่านั้นมารวมกันเพื่อจัดการกับแหล่งกำเนิดทั่วไป $f$

ฟังก์ชันกรีนมีความหมายอย่างไร

แหล่งกำเนิดแบบเดลตาคือสิ่งที่ทำให้นิยามนี้มีประโยชน์ แทนที่จะแก้สมการเต็มทันที คุณเริ่มจากถามก่อนว่าระบบตอบสนองอย่างไรต่ออินพุตที่กระจุกตัวที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ดังนั้นคุณจึงอ่าน $G(x,\xi)$ ได้ว่า “ผลที่เกิดที่ $x$ จากแรงกระตุ้นหนึ่งหน่วยที่กระทำที่ $\xi$” จากนั้นแหล่งกำเนิดที่ซับซ้อนกว่าอย่าง $f$ จะถูกมองเป็นการซ้อนทับอย่างต่อเนื่องของแหล่งกำเนิดแบบจุด ขั้นตอนนี้ใช้ได้เพราะปัญหาเป็นเชิงเส้นเท่านั้น

ทำไมเงื่อนไขขอบเขตจึงทำให้คำตอบเปลี่ยน

ฟังก์ชันกรีนไม่ได้ถูกกำหนดจากตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เพียงอย่างเดียว แต่มันเป็นของปัญหาทั้งหมด รวมถึงเงื่อนไขที่กำหนดไว้ด้วย

ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการ $-u''$ บนช่วง $0<x<1$ พร้อมเงื่อนไข $u(0)=u(1)=0$ จะมีฟังก์ชันกรีนต่างจากตัวดำเนินการเดียวกันที่ใช้เงื่อนไขขอบเขตแบบนอยมันน์ แม้สมการจะดูเหมือนกัน แต่คำตอบที่ยอมรับได้เปลี่ยนไป ดังนั้นเคอร์เนลก็เปลี่ยนตาม

นี่เป็นหนึ่งในข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด ไม่มีฟังก์ชันกรีนเพียงตัวเดียวสำหรับ “สมการนั้น” เว้นแต่เงื่อนไขต่าง ๆ จะถูกรวมอยู่ในโจทย์แล้ว

ตัวอย่างคำนวณ: ปัญหาดิริชเลต์สำหรับ $-u''(x)=f(x)$

พิจารณาปัญหาค่าขอบเขต

$$-u''(x) = f(x), \qquad 0 < x < 1,$$

โดยมี

$$u(0)=0, \qquad u(1)=0.$$

สำหรับปัญหาเฉพาะนี้ ฟังก์ชันกรีนคือ

$$G(x,\xi) = \begin{cases} x(1-\xi), & x \le \xi, \\ \xi(1-x), & x \ge \xi. \end{cases}$$

มันต่อเนื่องในตัวแปร $x$ มีค่าเป็นศูนย์ที่ $x=0$ และ $x=1$ และอนุพันธ์อันดับหนึ่งของมันมีการกระโดดที่ถูกต้องที่ $x=\xi$ การกระโดดนี้เองที่ทำให้เกิดแหล่งกำเนิดแบบเดลตาในสมการ $-G''(x,\xi)=\delta(x-\xi)$

เมื่อรู้เคอร์เนลแล้ว ทุกพจน์แหล่งกำเนิดของปัญหาค่าขอบเขตเดียวกันนี้จะใช้สูตรเดียวกัน:

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.$$

เลือกพจน์แหล่งกำเนิดง่าย ๆ หนึ่งตัว:

$$f(x)=1.$$

จะได้ว่า

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)\, d\xi = \int_0^x \xi(1-x)\, d\xi + \int_x^1 x(1-\xi)\, d\xi.$$

คำนวณแต่ละส่วน:

$$\int_0^x \xi(1-x)\, d\xi = (1-x)\frac{x^2}{2},$$ $$\int_x^1 x(1-\xi)\, d\xi = x\frac{(1-x)^2}{2}.$$

นำมาบวกกันจะได้

$$u(x)=\frac{x(1-x)}{2}.$$

ตรวจสอบอย่างรวดเร็วได้ว่า

$$u'(x)=\frac{1-2x}{2}, \qquad u''(x)=-1,$$

ดังนั้น

$$-u''(x)=1=f(x),$$

และค่าที่ขอบเขตคือ

$$u(0)=0, \qquad u(1)=0.$$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นประโยชน์อย่างชัดเจน คุณไม่ต้องสร้างวิธีใหม่ทุกครั้งที่เปลี่ยน $f$ แต่ใช้เคอร์เนลเดิมและเปลี่ยนเฉพาะอินทิกรัลเท่านั้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับฟังก์ชันกรีน

1. คิดว่าฟังก์ชันกรีนใช้กับปัญหาไม่เชิงเส้นได้ในแบบเดียวกัน ทั้งที่ขั้นตอนการซ้อนทับขึ้นอยู่กับความเป็นเชิงเส้น
2. ลืมว่าเงื่อนไขขอบเขตหรือเงื่อนไขต้นเป็นส่วนหนึ่งของนิยาม
3. สมมติว่าเคอร์เนลต้องสมมาตรเสมอ ความสมมาตรมักต้องอาศัยโครงสร้างเพิ่มเติม เช่น การตั้งปัญหาแบบ self-adjoint ที่เหมาะสม
4. สับสนระหว่างฟังก์ชันกรีนกับคำตอบมูลฐาน ทั้งสองเกี่ยวข้องกันมาก แต่ไม่ได้เป็นวัตถุเดียวกันเสมอไป
5. ใช้สูตรอินทิกรัลโดยไม่ตรวจสอบก่อนว่าปัญหานั้นมีฟังก์ชันกรีนอยู่จริงหรือไม่

ฟังก์ชันกรีนถูกใช้ที่ไหน

ฟังก์ชันกรีนปรากฏในสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เมื่อใดก็ตามที่ปัญหาเชิงเส้นถูกขับด้วยพจน์แหล่งกำเนิด มันพบได้บ่อยในไฟฟ้าสถิต การแพร่ การเคลื่อนที่ของคลื่น กลศาสตร์ควอนตัม และทฤษฎีความยืดหยุ่น

ในระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ฟังก์ชันกรีนยังเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นด้วย ภาษาที่ใช้ในแต่ละสาขาอาจต่างกัน แต่แนวคิดคล้ายกัน คือเข้าใจการตอบสนองต่ออินพุตที่กระจุกตัวหนึ่งตัว แล้วสร้างการตอบสนองต่ออินพุตทั่วไปจากสิ่งนั้น

วิธีจำแบบเร็ว

ถ้าคุณลืมนิยามแบบเป็นทางการ ให้จำเวอร์ชันนี้ไว้:

$$\text{Green's function} = \text{การตอบสนองต่อแหล่งกำเนิดแบบจุดหนึ่งตัว}.$$

จากนั้นคำตอบเต็มจะได้จากการรวมการตอบสนองต่อแหล่งกำเนิดแบบจุดเหล่านั้นตลอดโดเมน ซึ่งก็คือสิ่งที่อินทิกรัลทำ

ลองพจน์แหล่งกำเนิดที่คล้ายกัน

คงเงื่อนไขขอบเขตเดิมไว้ แต่แทน $f(x)=1$ ด้วย $f(x)=x$ เคอร์เนลยังคงเดิม และมีเพียงอินทิกรัลสุดท้ายที่เปลี่ยน:

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)\,\xi\, d\xi.$$

นี่เป็นขั้นต่อไปที่ดี เพราะมันแยกสองส่วนสำคัญออกจากกันอย่างชัดเจน: ฟังก์ชันกรีนเป็นของการตั้งโจทย์ ส่วนพจน์แหล่งกำเนิดสามารถเปลี่ยนไปได้ในแต่ละกรณี ถ้าคุณอยากลองต่อ ให้สร้างเวอร์ชันของคุณเองด้วยแหล่งกำเนิดแบบอื่น แล้วตรวจสอบอินทิกรัลที่ได้กับเงื่อนไขขอบเขต