Funzione di Green

La funzione di Green è lo strumento standard per risolvere un'equazione differenziale lineare con un termine sorgente, una volta fissate le condizioni al contorno o iniziali. In parole semplici, dice come il sistema risponde a una sorgente puntuale unitaria posta in $\xi$.

Per un operatore lineare $L$, una funzione di Green $G(x,\xi)$ è definita dal problema con sorgente puntuale

$$L\,G(x,\xi) = \delta(x-\xi)$$

nella variabile $x$, insieme alle stesse condizioni al contorno o iniziali che la soluzione finale deve soddisfare. Qui $\delta(x-\xi)$ è la delta di Dirac, una distribuzione che rappresenta una sorgente unitaria concentrata in $\xi$.

Se una tale funzione di Green esiste e il problema è lineare, allora la soluzione di

$$L\,u(x) = f(x)$$

spesso può essere scritta come

$$u(x) = \int G(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.$$

Questa è l'idea principale: risolvere una volta il problema con sorgente puntuale, poi combinare quelle risposte puntuali per trattare una sorgente generale $f$.

Che cosa significa una funzione di Green

La sorgente delta è ciò che rende utile la definizione. Invece di risolvere subito l'equazione completa, prima si chiede la risposta all'ingresso più concentrato possibile.

Quindi puoi leggere $G(x,\xi)$ come "l'effetto in $x$ di un impulso unitario applicato in $\xi$". Una sorgente più complicata $f$ viene poi trattata come una sovrapposizione continua di sorgenti puntuali. Questo passaggio funziona solo perché il problema è lineare.

Perché le condizioni al contorno cambiano la risposta

Una funzione di Green non è determinata solo dall'operatore differenziale. Appartiene al problema completo, comprese le condizioni.

Per esempio, l'operatore $-u''$ su $0<x<1$ con $u(0)=u(1)=0$ ha una funzione di Green diversa rispetto allo stesso operatore con condizioni al contorno di Neumann. L'equazione può sembrare la stessa, ma le soluzioni ammesse cambiano, quindi cambia anche il nucleo.

Questo è uno degli errori più comuni. Non esiste un'unica funzione di Green per "l'equazione" a meno che le condizioni non facciano già parte del problema.

Esempio svolto: il problema di Dirichlet per $-u''(x)=f(x)$

Considera il problema ai valori al contorno

$$-u''(x) = f(x), \qquad 0 < x < 1,$$

con

$$u(0)=0, \qquad u(1)=0.$$

Per questo problema specifico, la funzione di Green è

$$G(x,\xi) = \begin{cases} x(1-\xi), & x \le \xi, \\ \xi(1-x), & x \ge \xi. \end{cases}$$

È continua in $x$, si annulla per $x=0$ e $x=1$, e la sua derivata prima ha il salto corretto in $x=\xi$. Quel salto è ciò che produce la sorgente delta nell'equazione $-G''(x,\xi)=\delta(x-\xi)$.

Una volta noto il nucleo, ogni termine sorgente per questo stesso problema ai valori al contorno usa la stessa formula:

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi) f(\xi)\, d\xi.$$

Scegli un termine sorgente semplice:

$$f(x)=1.$$

Allora

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)\, d\xi = \int_0^x \xi(1-x)\, d\xi + \int_x^1 x(1-\xi)\, d\xi.$$

Calcola ciascuna parte:

$$\int_0^x \xi(1-x)\, d\xi = (1-x)\frac{x^2}{2},$$ $$\int_x^1 x(1-\xi)\, d\xi = x\frac{(1-x)^2}{2}.$$

Sommandole si ottiene

$$u(x)=\frac{x(1-x)}{2}.$$

Un rapido controllo lo conferma:

$$u'(x)=\frac{1-2x}{2}, \qquad u''(x)=-1,$$

quindi

$$-u''(x)=1=f(x),$$

e i valori al contorno sono

$$u(0)=0, \qquad u(1)=0.$$

Questo esempio mostra chiaramente il vantaggio. Non devi ricostruire il metodo per ogni nuovo $f$; mantieni lo stesso nucleo e cambi solo l'integrale.

Errori comuni con la funzione di Green

1. Trattare le funzioni di Green come se funzionassero allo stesso modo per problemi non lineari. Il passaggio di sovrapposizione dipende dalla linearità.
2. Dimenticare che le condizioni al contorno o iniziali fanno parte della definizione.
3. Supporre che il nucleo debba essere sempre simmetrico. La simmetria di solito richiede una struttura aggiuntiva, come un'impostazione autoaggiunta adatta.
4. Confondere una funzione di Green con una soluzione fondamentale. Sono strettamente collegate, ma non sono sempre lo stesso oggetto.
5. Usare la formula integrale senza verificare che esista una funzione di Green per quel particolare problema.

Dove si usano le funzioni di Green

Le funzioni di Green compaiono nelle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali ogni volta che un problema lineare è guidato da un termine sorgente. Sono comuni in elettrostatica, diffusione, problemi di onde, meccanica quantistica ed elasticità.

Nei contesti lineari tempo-invarianti, sono anche strettamente legate alle risposte impulsive. Il linguaggio cambia da una disciplina all'altra, ma l'idea è simile: capire la risposta a un ingresso concentrato, poi costruire da lì la risposta a un ingresso generale.

Un modo rapido per ricordarla

Se dimentichi la definizione formale, tieni a mente questa versione:

$$\text{funzione di Green} = \text{risposta a una sorgente puntuale}.$$

Poi la soluzione completa si ottiene sommando queste risposte a sorgenti puntuali su tutto il dominio, ed è proprio ciò che fa l'integrale.

Prova un termine sorgente simile

Mantieni le stesse condizioni al contorno, ma sostituisci $f(x)=1$ con $f(x)=x$. Il nucleo resta lo stesso e cambia solo l'ultimo integrale:

$$u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)\,\xi\, d\xi.$$

Questo è un buon passo successivo perché separa chiaramente le due parti che cambiano: la funzione di Green appartiene all'impostazione del problema, mentre il termine sorgente può cambiare da un caso all'altro. Se vuoi andare oltre, prova una tua versione con una sorgente diversa e controlla l'integrale risultante rispetto alle condizioni al contorno.