Fonctions exponentielles et logarithmiques

Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont en réalité la même relation lue dans des sens opposés. Si $2^3=8$, on dira du côté de la fonction exponentielle : « on insère l'exposant $3$ pour obtenir $8$ », tandis que du côté de la fonction logarithmique, on dira : « pour obtenir $8$, l'exposant doit être $3$ ». Lors d'un examen, maîtriser clairement ce lien rendra nombre de problèmes beaucoup plus simples.

Dans l'ensemble des nombres réels, si la base $a$ vérifie $a>0$ et $a \ne 1$, alors :

$y=a^x$

est appelée fonction exponentielle, et

$y=\log_a x$

est appelée fonction logarithmique. Comme ces deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, si elles partagent la même base, leurs graphiques sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Comprendre les fonctions exponentielles et logarithmiques d'un seul coup d'œil

Dans la fonction exponentielle $y=a^x$, l'entrée $x$ se place à l'exposant. C'est pourquoi elle est parfaitement adaptée aux situations où une valeur augmente ou diminue selon un ratio constant, plutôt que par une différence constante.

La fonction logarithmique $y=\log_a x$ lit cette relation à l'envers. L'essentiel tient en une ligne :

$\log_a x = y \iff a^y = x$

Cette formule signifie que le logarithme n'est pas tant une nouvelle méthode de calcul, mais plutôt une « notation pour interroger l'exposant ». Par exemple, $\log_2 8 = 3$ est une phrase qui demande : « À quelle puissance faut-il élever $2$ pour obtenir $8$ ? ».

Différences entre graphiques et domaines de définition

Si $a>1$, la fonction exponentielle et la fonction logarithmique sont toutes deux croissantes. À l'inverse, si $0<a<1$, elles sont toutes deux décroissantes. Cependant, les rôles de l'entrée et de la sortie sont inversés.

Le domaine de définition de la fonction exponentielle $y=a^x$ est l'ensemble de tous les nombres réels, et la valeur de la fonction est toujours positive. C'est-à-dire que :

$a^x > 0$

Par conséquent, le graphique ne descend jamais en dessous de l'axe $x$. À l'inverse, la fonction logarithmique $y=\log_a x$ n'est définie que lorsque l'entrée est positive, donc :

$x > 0$

C'est pour cette raison que l'ensemble d'arrivée (image) de la fonction exponentielle correspond exactement au domaine de définition de la fonction logarithmique.

Cette relation est également visible sur le graphique. Si $2^3=8$, un point sur la fonction exponentielle est $(3,8)$, et le point correspondant sur la fonction logarithmique est $(8,3)$. Le fait que les coordonnées soient inversées est précisément dû à leur relation de fonctions réciproques.

Exemple : Pourquoi passer de $2^x=10$ au logarithme simplifie-t-il les choses ?

Le lien entre l'exposant et le logarithme est le plus évident dans les équations où l'on ne connaît pas l'exposant. Regardons l'équation suivante :

$2^x = 10$

Comme $2^3=8$ et $2^4=16$, $x$ se situe entre $3$ et $4$. Cependant, il est difficile d'écrire la valeur exacte uniquement avec des exposants entiers. C'est là que l'utilisation du logarithme permet d'exprimer « l'exposant lui-même » comme réponse.

$x = \log_2 10$

En d'autres termes, la fonction logarithmique nous indique quel exposant produit le résultat $10$. En utilisant une calculatrice pour obtenir une valeur approchée :

$x \approx 3.32$

Le point clé de cet exemple est le suivant : la fonction logarithmique apparaît naturellement lorsqu'on connaît le résultat, mais que l'on ignore l'exposant.

Points d'erreur fréquents

Une erreur courante consiste à insérer $0$ ou un nombre négatif dans une fonction logarithmique. Dans l'ensemble des réels, on doit impérativement avoir $x>0$ pour $\log_a x$.

Les conditions sur la base sont également souvent oubliées. Pour les fonctions exponentielles et logarithmiques, la base doit toujours être $a>0$ et $a \ne 1$.

Il ne faut pas confondre la fonction logarithmique avec une inverse multiplicative. La fonction logarithmique n'est pas $\frac{1}{a^x}$, mais la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Une autre erreur est de mémoriser qu'elles sont « toujours croissantes ». Elles croissent si $a>1$, mais si $0<a<1$, la fonction exponentielle et la fonction logarithmique sont toutes deux décroissantes.

Il arrive aussi que l'on écrive des expressions incorrectes comme $\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y$. Les propriétés des logarithmes ne peuvent être utilisées que si la forme est correcte ; il est donc plus sûr de vérifier d'abord la définition et les conditions.

Quand utilise-t-on ces fonctions ?

La fonction exponentielle est souvent utilisée pour modéliser des phénomènes qui croissent ou décroissent selon un ratio constant, comme les intérêts composés, la croissance d'une population ou la désintégration radioactive. Si une situation change proportionnellement à sa taille actuelle, elle est souvent liée à une fonction exponentielle.

La fonction logarithmique est utilisée pour répondre à la question inverse. Lorsqu'on connaît l'ampleur du changement du résultat, elle est idéale pour trouver le temps écoulé ou l'exposant nécessaire.

Entraînez-vous avec des exercices similaires

Essayez d'abord de réécrire $3^4=81$ sous la forme $\log_3 81=4$. Ensuite, essayez de lire $5^x=40$ comme $x=\log_5 40$. Vous verrez alors beaucoup plus clairement pourquoi la fonction exponentielle et la fonction logarithmique forment un couple.