Fonction delta de Dirac

La delta de Dirac, notée $\delta(x)$, se comprend mieux comme une distribution, et non comme une fonction ordinaire. Elle représente une quantité unitaire concentrée en un seul point, et sa règle essentielle est la propriété de filtrage :

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a)$$

lorsque l’intervalle contient $a$ et que $f$ est continue, ou au moins régulière, en ce point.

En langage simple, $\delta(x-a)$ agit comme un échantillonneur. À l’intérieur d’une intégrale, elle extrait la valeur de l’autre facteur en $x=a$.

Définition et intuition de la delta de Dirac

Si $\delta(x-a)$ apparaît dans une intégrale, tout son effet est concentré en $x=a$. C’est pourquoi on la représente souvent comme un pic d’aire totale égale à $1$.

Cette image est utile pour l’intuition, mais la définition fiable reste la règle d’intégration ci-dessus. Il faut voir le pic comme un moyen mnémotechnique, pas comme le graphe littéral d’une fonction ordinaire.

Deux conséquences en découlent immédiatement :

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a)\,dx = 1$$

et si l’intervalle ne contient pas $a$,

$$\int_{c}^{d} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = 0$$

car le point d’échantillonnage est en dehors de l’intervalle.

Pourquoi la delta de Dirac n’est pas une fonction ordinaire

Pour une fonction ordinaire, on peut généralement discuter de valeurs comme $f(0)$ et utiliser l’algèbre standard sans trop de difficulté. La delta de Dirac ne suit pas ce schéma.

Dans les problèmes élémentaires, l’approche la plus sûre consiste à définir $\delta(x)$ par ce qu’elle fait sous le signe intégral. La formule « nulle partout sauf en $0$ et infinie en $0$ » n’est qu’une intuition grossière, pas une définition complète.

Cette distinction évite des erreurs fréquentes, comme essayer de traiter $\delta(0)$ comme un nombre ordinaire.

Exemple résolu avec la propriété de filtrage

Évaluer

$$\int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 1)\,\delta(x-3)\,dx$$

Étape 1 : repérer le point d’échantillonnage. Comme la delta est $\delta(x-3)$, elle échantillonne en $x=3$.

Étape 2 : remplacer $x$ par $3$ dans l’autre facteur :

$$\int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 1)\,\delta(x-3)\,dx = 3^2 + 1 = 10$$

C’est tout le calcul. On n’intègre pas $x^2+1$ de la manière habituelle. On repère le point d’échantillonnage puis on évalue l’expression restante en ce point.

Comment lire correctement le décalage

Les erreurs de signe sont l’une des causes les plus fréquentes de mauvaises réponses.

$$\delta(x-a) \text{ échantillonne en } x=a$$

mais

$$\delta(x+a) = \delta(x-(-a))$$

donc elle échantillonne en $x=-a$.

Par exemple,

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^x\,\delta(x+2)\,dx = e^{-2}$$

et non $e^2$.

Erreurs fréquentes avec la delta de Dirac

Traiter $\delta(x)$ comme une fonction normale

Son sens vient de la façon dont elle agit dans les intégrales. Si vous essayez de la manipuler comme une fonction standard que l’on peut tracer, vous ferez généralement fausse route.

Rater le point d’échantillonnage

Avec $\delta(x-a)$, l’échantillon est pris en $x=a$. Avec $\delta(x+a)$, il est pris en $x=-a$.

Ignorer l’intervalle

Si l’intervalle d’intégration ne contient pas le point d’échantillonnage, l’intégrale vaut $0$. C’est souvent la première chose à vérifier.

Oublier la condition sur $f(x)$

La règle standard d’échantillonnage s’utilise lorsque l’autre facteur est régulier au point d’échantillonnage. Dans beaucoup de contextes introductifs, la continuité en ce point suffit.

Confondre delta de Dirac et delta de Kronecker

La delta de Dirac s’utilise dans des contextes continus. La delta de Kronecker, notée $\delta_{ij}$, est un objet discret qui vaut $1$ lorsque $i=j$ et $0$ sinon.

Où la delta de Dirac est utilisée

La delta de Dirac apparaît lorsqu’un modèle doit représenter quelque chose de concentré en un point de l’espace ou à un instant précis.

Parmi les exemples typiques, on trouve une force impulsionnelle en mécanique, une charge ponctuelle ou une masse ponctuelle idéalisée, ainsi que des entrées instantanées en traitement du signal.

Elle apparaît aussi dans les fonctions de Green et dans les méthodes de Fourier ou de Laplace, où elle offre une manière compacte de décrire une entrée qui se produit d’un seul coup.

Essayez un problème similaire

Essayez

$$\int_{-\infty}^{\infty} (2x-5)\,\delta(x+1)\,dx$$

Commencez par trouver le point d’échantillonnage, puis remplacez-le dans l’expression linéaire. Pour une vérification supplémentaire, comparez avec la même intégrale sur $[0,4]$ et voyez pourquoi la réponse change.