ฟังก์ชันเดลตาของดิแรก

เดลตาของดิแรก เขียนเป็น $\delta(x)$ เข้าใจได้ดีที่สุดว่าเป็นการแจกแจง (distribution) ไม่ใช่ฟังก์ชันธรรมดา มันแทนปริมาณหนึ่งหน่วยที่ถูกรวมไว้ที่จุดเดียว และกฎสำคัญของมันคือสมบัติการคัดค่า:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a)$$

เมื่อช่วงอินทิเกรตครอบคลุม $a$ และ $f$ ต่อเนื่อง หรืออย่างน้อยมีพฤติกรรมที่ดีพอ ที่จุดนั้น

พูดแบบง่าย ๆ คือ $\delta(x-a)$ ทำหน้าที่เหมือนตัวสุ่มตัวอย่าง ภายในอินทิกรัล มันจะดึงค่าของพจน์อีกตัวออกมาที่ $x=a$

นิยามและภาพเชิงความเข้าใจของเดลตาของดิแรก

ถ้า $\delta(x-a)$ ปรากฏอยู่ในอินทิกรัล ผลทั้งหมดของมันจะถูกรวมอยู่ที่ $x=a$ นั่นจึงเป็นเหตุผลที่คนมักนึกภาพมันเป็นยอดแหลมที่มีพื้นที่รวมเท่ากับ $1$

ภาพนี้มีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจ แต่คำนิยามที่เชื่อถือได้จริงยังคงเป็นกฎอินทิกรัลข้างต้น ให้มองภาพยอดแหลมเป็นเพียงตัวช่วยจำ ไม่ใช่กราฟจริงของฟังก์ชันธรรมดา

มีผลตามมาสองข้อทันที:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a)\,dx = 1$$

และถ้าช่วงอินทิเกรตไม่ครอบคลุม $a$,

$$\int_{c}^{d} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = 0$$

เพราะจุดที่ใช้คัดค่าอยู่นอกช่วงอินทิเกรต

ทำไมเดลตาของดิแรกจึงไม่ใช่ฟังก์ชันปกติ

สำหรับฟังก์ชันธรรมดา โดยทั่วไปคุณสามารถพูดถึงค่าอย่าง $f(0)$ และใช้พีชคณิตมาตรฐานได้โดยไม่ลำบากมากนัก แต่เดลตาของดิแรกไม่เป็นไปตามรูปแบบนั้น

ในโจทย์ระดับต้น วิธีที่ปลอดภัยที่สุดคือให้นิยาม $\delta(x)$ จากสิ่งที่มันทำภายใต้การอินทิเกรต คำพูดที่ว่า "เป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่ $0$ และเป็นอนันต์ที่ $0$" เป็นเพียงภาพคร่าว ๆ ไม่ใช่นิยามที่สมบูรณ์

การแยกความต่างนี้ช่วยป้องกันข้อผิดพลาดที่พบบ่อย เช่น การพยายามมอง $\delta(0)$ เป็นจำนวนธรรมดา

ตัวอย่างคำนวณด้วยสมบัติการคัดค่า

จงหาค่า

$$\int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 1)\,\delta(x-3)\,dx$$

ขั้นที่ 1: หาจุดที่ใช้คัดค่า เนื่องจากเดลตาคือ $\delta(x-3)$ จึงคัดค่าที่ $x=3$

ขั้นที่ 2: แทน $x=3$ ลงในพจน์อีกตัว:

$$\int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 1)\,\delta(x-3)\,dx = 3^2 + 1 = 10$$

นี่คือการคำนวณทั้งหมด คุณไม่ต้องอินทิเกรต $x^2+1$ แบบปกติ แต่ให้หาจุดที่คัดค่าแล้วประเมินนิพจน์ที่เหลือตรงจุดนั้น

วิธีอ่านการเลื่อนให้ถูกต้อง

ความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายเป็นหนึ่งในสาเหตุที่พบบ่อยที่สุดของคำตอบที่ผิด

$$\delta(x-a) \text{ คัดค่าที่ } x=a$$

แต่

$$\delta(x+a) = \delta(x-(-a))$$

ดังนั้นมันจึงคัดค่าที่ $x=-a$

ตัวอย่างเช่น

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^x\,\delta(x+2)\,dx = e^{-2}$$

ไม่ใช่ $e^2$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับเดลตาของดิแรก

มอง $\delta(x)$ เหมือนฟังก์ชันปกติ

ความหมายของมันมาจากวิธีที่มันกระทำในอินทิกรัล ถ้าคุณพยายามจัดการมันเหมือนฟังก์ชันมาตรฐานที่วาดกราฟได้ คุณมักจะเดินผิดทาง

พลาดจุดที่ใช้คัดค่า

สำหรับ $\delta(x-a)$ จะคัดค่าที่ $x=a$ ส่วน $\delta(x+a)$ จะคัดค่าที่ $x=-a$

มองข้ามช่วงอินทิเกรต

ถ้าช่วงอินทิเกรตไม่ครอบคลุมจุดที่ใช้คัดค่า อินทิกรัลจะมีค่าเป็น $0$ นี่มักเป็นสิ่งที่ตรวจได้เร็วที่สุด

ลืมเงื่อนไขของ $f(x)$

กฎการคัดค่ามาตรฐานใช้เมื่อพจน์อีกตัวมีพฤติกรรมที่ดีที่จุดคัดค่า ในหลายบริบทระดับเริ่มต้น แค่ต่อเนื่องที่จุดนั้นก็เพียงพอแล้ว

สับสนเดลตาของดิแรกกับเดลตาของโครเนกเกอร์

เดลตาของดิแรกใช้ในบริบทต่อเนื่อง ส่วนเดลตาของโครเนกเกอร์ เขียนเป็น $\delta_{ij}$ เป็นวัตถุแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าเป็น $1$ เมื่อ $i=j$ และเป็น $0$ ในกรณีอื่น

เดลตาของดิแรกถูกใช้ที่ไหน

เดลตาของดิแรกปรากฏเมื่อแบบจำลองต้องการแทนสิ่งที่ถูกรวมอยู่ที่จุดเดียวในอวกาศ หรือช่วงเวลาขณะเดียว

ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ แรงกระตุ้นในกลศาสตร์ ประจุจุดหรือมวลจุดแบบอุดมคติ และอินพุตฉับพลันในวิชาการประมวลผลสัญญาณ

มันยังปรากฏในฟังก์ชันกรีน และในวิธีฟูเรียร์หรือลาปลาซ ซึ่งให้วิธีที่กระชับในการอธิบายอินพุตที่เกิดขึ้นพร้อมกันในทันที

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองพิจารณา

$$\int_{-\infty}^{\infty} (2x-5)\,\delta(x+1)\,dx$$

เริ่มจากหาจุดที่ใช้คัดค่า แล้วแทนค่านั้นลงในนิพจน์เชิงเส้น ถ้าคุณอยากตรวจเพิ่มอีกนิด ให้เปรียบเทียบกับอินทิกรัลเดียวกันบนช่วง $[0,4]$ แล้วดูว่าทำไมคำตอบจึงเปลี่ยนไป