Fungsi Delta Dirac

Delta Dirac, ditulis sebagai $\delta(x)$, paling tepat dipahami sebagai distribusi, bukan fungsi biasa. Objek ini merepresentasikan suatu besaran satuan yang terkonsentrasi di satu titik, dan aturan utamanya adalah sifat penyaringan:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a)$$

ketika interval memuat $a$ dan $f$ kontinu, atau setidaknya berperilaku baik, di titik tersebut.

Dalam bahasa sederhana, $\delta(x-a)$ bertindak seperti pengambil sampel. Di dalam integral, ia mengambil nilai faktor lain pada $x=a$.

Definisi dan intuisi fungsi delta Dirac

Jika $\delta(x-a)$ muncul di dalam integral, seluruh pengaruhnya terkonsentrasi di $x=a$. Itulah sebabnya orang sering membayangkannya sebagai lonjakan dengan luas total $1$.

Gambaran itu berguna untuk intuisi, tetapi definisi yang dapat diandalkan tetaplah aturan integral di atas. Anggap gambar lonjakan itu sebagai alat bantu ingatan, bukan grafik literal dari fungsi biasa.

Dua akibat langsungnya adalah:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a)\,dx = 1$$

dan jika interval tidak memuat $a$,

$$\int_{c}^{d} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = 0$$

karena titik pengambilan sampel berada di luar interval.

Mengapa delta Dirac bukan fungsi biasa

Untuk fungsi biasa, Anda umumnya bisa membahas nilai seperti $f(0)$ dan memakai aljabar standar tanpa banyak masalah. Delta Dirac tidak mengikuti pola itu.

Dalam soal-soal dasar, pendekatan paling aman adalah mendefinisikan $\delta(x)$ melalui apa yang dilakukannya di bawah integral. Ungkapan "nol di mana-mana kecuali di $0$ dan tak hingga di $0$" hanyalah intuisi kasar, bukan definisi lengkap.

Pembedaan ini mencegah kesalahan umum seperti mencoba memperlakukan $\delta(0)$ sebagai bilangan biasa.

Contoh soal dengan sifat penyaringan

Hitung

$$\int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 1)\,\delta(x-3)\,dx$$

Langkah 1: tentukan titik pengambilan sampel. Karena deltanya adalah $\delta(x-3)$, maka pengambilan sampel terjadi pada $x=3$.

Langkah 2: substitusikan $x=3$ ke faktor yang lain:

$$\int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 1)\,\delta(x-3)\,dx = 3^2 + 1 = 10$$

Itulah seluruh perhitungannya. Anda tidak mengintegralkan $x^2+1$ dengan cara biasa. Anda cukup menentukan titik sampel lalu menghitung nilai ekspresi sisanya di titik tersebut.

Cara membaca pergeseran dengan benar

Kesalahan tanda adalah salah satu sumber jawaban salah yang paling umum.

$$\delta(x-a) \text{ mengambil sampel pada } x=a$$

tetapi

$$\delta(x+a) = \delta(x-(-a))$$

jadi ia mengambil sampel pada $x=-a$.

Sebagai contoh,

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^x\,\delta(x+2)\,dx = e^{-2}$$

bukan $e^2$.

Kesalahan umum pada delta Dirac

Memperlakukan $\delta(x)$ seperti fungsi normal

Maknanya berasal dari cara kerjanya di dalam integral. Jika Anda mencoba menanganinya seperti fungsi standar yang bisa digambar grafiknya, biasanya langkah yang diambil akan keliru.

Melewatkan titik pengambilan sampel

Untuk $\delta(x-a)$, sampel diambil pada $x=a$. Untuk $\delta(x+a)$, sampel diambil pada $x=-a$.

Mengabaikan interval

Jika interval integrasi tidak memuat titik pengambilan sampel, maka integralnya bernilai $0$. Ini sering menjadi hal tercepat untuk diperiksa.

Melupakan syarat pada $f(x)$

Aturan pengambilan sampel standar digunakan ketika faktor lainnya berperilaku baik di titik sampel. Dalam banyak konteks pengantar, kekontinuan di titik itu sudah cukup.

Mencampuradukkan delta Dirac dengan delta Kronecker

Delta Dirac digunakan dalam konteks kontinu. Delta Kronecker, ditulis $\delta_{ij}$, adalah objek diskret yang bernilai $1$ saat $i=j$ dan $0$ selain itu.

Di mana delta Dirac digunakan

Delta Dirac muncul ketika suatu model perlu merepresentasikan sesuatu yang terkonsentrasi di satu titik dalam ruang atau satu saat dalam waktu.

Contoh yang umum meliputi gaya impuls dalam mekanika, muatan titik atau massa titik yang diidealkan, dan masukan sesaat dalam pemrosesan sinyal.

Delta Dirac juga muncul dalam fungsi Green serta dalam metode Fourier atau Laplace, karena memberikan cara ringkas untuk menggambarkan masukan yang terjadi sekaligus.

Coba soal serupa

Coba

$$\int_{-\infty}^{\infty} (2x-5)\,\delta(x+1)\,dx$$

Pertama tentukan titik pengambilan sampel, lalu substitusikan ke ekspresi linear tersebut. Jika ingin satu pemeriksaan lagi, bandingkan dengan integral yang sama pada $[0,4]$ dan lihat mengapa jawabannya berubah.