Dirac-Delta-Funktion

Das Dirac-Delta, geschrieben als $\delta(x)$, versteht man am besten als Distribution und nicht als gewöhnliche Funktion. Es stellt eine Einheitsmenge dar, die in einem einzigen Punkt konzentriert ist, und seine wichtigste Regel ist die Siebeigenschaft:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a)$$

wenn das Intervall $a$ enthält und $f$ an dieser Stelle stetig oder zumindest hinreichend gutartig ist.

Anschaulich wirkt $\delta(x-a)$ wie ein Abtaster. Innerhalb eines Integrals greift es den Wert des anderen Faktors bei $x=a$ heraus.

Definition und Anschauung der Dirac-Delta-Funktion

Wenn $\delta(x-a)$ in einem Integral vorkommt, ist seine gesamte Wirkung bei $x=a$ konzentriert. Deshalb stellt man es sich oft als Spitze mit Gesamtfläche $1$ vor.

Dieses Bild ist für die Anschauung nützlich, aber die verlässliche Definition bleibt die Integralregel oben. Betrachte das Spitzenbild als Merkhilfe, nicht als wörtlichen Graphen einer gewöhnlichen Funktion.

Daraus folgen sofort zwei Konsequenzen:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a)\,dx = 1$$

und falls das Intervall $a$ nicht enthält,

$$\int_{c}^{d} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = 0$$

weil der Abtastpunkt außerhalb des Intervalls liegt.

Warum das Dirac-Delta keine gewöhnliche Funktion ist

Bei einer gewöhnlichen Funktion kann man meist Werte wie $f(0)$ betrachten und die übliche Algebra ohne große Probleme anwenden. Das Dirac-Delta passt nicht in dieses Schema.

In elementaren Aufgaben ist es am sichersten, $\delta(x)$ über seine Wirkung unter dem Integral zu definieren. Die Aussage „überall außer bei $0$ gleich null und bei $0$ unendlich“ ist nur eine grobe Anschauung, keine vollständige Definition.

Diese Unterscheidung verhindert typische Fehler, etwa $\delta(0)$ wie eine gewöhnliche Zahl zu behandeln.

Durchgerechnetes Beispiel zur Siebeigenschaft

Berechne

$$\int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 1)\,\delta(x-3)\,dx$$

Schritt 1: Bestimme den Abtastpunkt. Da das Delta $\delta(x-3)$ ist, wird bei $x=3$ abgetastet.

Schritt 2: Setze $x=3$ in den anderen Faktor ein:

$$\int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + 1)\,\delta(x-3)\,dx = 3^2 + 1 = 10$$

Das ist schon die ganze Rechnung. Du integrierst $x^2+1$ nicht auf die übliche Weise. Du bestimmst den Abtastpunkt und wertest den verbleibenden Ausdruck dort aus.

Wie man die Verschiebung richtig liest

Vorzeichenfehler gehören zu den häufigsten Ursachen für falsche Antworten.

$$\delta(x-a) \text{ tastet bei } x=a \text{ ab}$$

aber

$$\delta(x+a) = \delta(x-(-a))$$

also wird bei $x=-a$ abgetastet.

Zum Beispiel gilt

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^x\,\delta(x+2)\,dx = e^{-2}$$

und nicht $e^2$.

Häufige Fehler bei der Dirac-Delta-Funktion

$\delta(x)$ wie eine normale Funktion behandeln

Seine Bedeutung ergibt sich daraus, wie es in Integralen wirkt. Wenn du versuchst, es wie eine gewöhnliche Funktion mit normal darstellbarem Graphen zu behandeln, machst du meist den falschen Schritt.

Den Abtastpunkt übersehen

Bei $\delta(x-a)$ wird bei $x=a$ abgetastet. Bei $\delta(x+a)$ wird bei $x=-a$ abgetastet.

Das Intervall ignorieren

Wenn das Integrationsintervall den Abtastpunkt nicht enthält, ist das Integral $0$. Das ist oft das Schnellste, was man zuerst prüfen sollte.

Die Bedingung an $f(x)$ vergessen

Die übliche Abtastregel wird verwendet, wenn der andere Faktor am Abtastpunkt gutartig ist. In vielen einführenden Zusammenhängen reicht Stetigkeit an dieser Stelle aus.

Dirac-Delta und Kronecker-Delta verwechseln

Das Dirac-Delta wird in kontinuierlichen Zusammenhängen verwendet. Das Kronecker-Delta, geschrieben als $\delta_{ij}$, ist ein diskretes Objekt, das $1$ ist, wenn $i=j$, und sonst $0$.

Wo die Dirac-Delta-Funktion verwendet wird

Das Dirac-Delta tritt auf, wenn ein Modell etwas darstellen soll, das an einem Punkt im Raum oder zu einem einzigen Zeitpunkt konzentriert ist.

Typische Beispiele sind eine Impulskraft in der Mechanik, eine idealisierte Punktladung oder Punktmasse und momentane Eingaben in der Signalverarbeitung.

Es erscheint auch in Greenschen Funktionen sowie in Fourier- oder Laplace-Methoden, wo es eine kompakte Beschreibung für einen Input liefert, der auf einmal erfolgt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche

$$\int_{-\infty}^{\infty} (2x-5)\,\delta(x+1)\,dx$$

Bestimme zuerst den Abtastpunkt und setze ihn dann in den linearen Ausdruck ein. Wenn du noch eine Kontrolle möchtest, vergleiche das mit demselben Integral über $[0,4]$ und überlege, warum sich die Antwort ändert.