科学记数法

科学记数法把一个非零数写成“一个介于 $1$ 和 $10$ 之间的数乘以 $10$ 的幂”的形式。它能更紧凑地表示像 $4{,}500{,}000$ 或 $0.00045$ 这样的数，同时不改变它们的值。

$$a \times 10^n$$

其中 $1 \le |a| < 10$，并且 $n$ 是整数。

对 $a$ 的这个条件很重要。系数的绝对值必须在 $1$ 和 $10$ 之间，所以 $45 \times 10^3$ 虽然等于 $4.5 \times 10^4$，但它不是标准的科学记数法。

科学记数法告诉了你什么

每当你把小数点移动一位，本质上就是在乘以或除以 $10$。科学记数法把这种位值变化的思想压缩成了一种简洁的写法。

如果你把小数点向左移动，说明原来的数至少是 $10$，所以指数是正的。如果你把小数点向右移动，说明原来的数的绝对值在 $0$ 和 $1$ 之间，所以指数是负的。

这样你就可以快速判断：

• 大数使用 $10$ 的正整数次幂。
• 很小的非零数使用 $10$ 的负整数次幂。

例题：把 $0.00045$ 写成科学记数法

移动小数点，直到前面的数介于 $1$ 和 $10$ 之间：

$$0.00045 \rightarrow 4.5$$

小数点向右移动了 $4$ 位。向右移动表示指数是负数，所以

$$0.00045 = 4.5 \times 10^{-4}$$

你可以检验这个值：

$$10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000}$$

所以

$$4.5 \times 10^{-4} = \frac{4.5}{10000} = 0.00045$$

这个例子说明了两个最关键的判断：先把系数调整到合适范围，再根据小数点移动的方向确定指数的正负。

科学记数法中的常见错误

1. 系数超出了标准范围。例如，$45 \times 10^4$ 虽然与某个科学记数法表示的值相等，但它不是标准形式，因为 $45$ 不在 $1$ 和 $10$ 之间。
2. 把指数的正负号写反。一个非常小的正数需要负指数，而不是正指数。
3. 有零时，小数点移动位数数错。
4. 忘记“非零”这个条件。通常形式 $a \times 10^n$ 且满足 $1 \le |a| < 10$ 描述的是非零数；零通常直接写成 $0$。

科学记数法在什么时候使用

当位值变得难以直接看清时，科学记数法就很有用。这种情况在科学、工程、测量和数据处理中很常见。

你会在显微尺度的长度、天文距离，以及跨越许多个 $10$ 的幂数量级的量中看到它。它也能让非常大或非常小的数的计算更容易整理。

如何快速读懂科学记数法

先看系数，再把 $10$ 的幂理解成一个位值提示。

例如，在 $6.2 \times 10^5$ 中，$6.2$ 给出了前导大小，而 $10^5$ 表示这个数处在十万数量级。在 $6.2 \times 10^{-5}$ 中，同样的前导大小被缩小成了一个非常小的数。

自己试一试

试着把 $7{,}200{,}000$ 和 $0.0000081$ 写成科学记数法。然后检查你的系数是否在 $1$ 和 $10$ 之间，以及指数的正负是否与小数点移动的方向一致。