黎曼和：定义、公式与例题

黎曼和通过把一个区间分成许多小段，在每一小段上作一个矩形，再把这些矩形的面积相加，来近似定积分。简而言之：每一小段都是“宽 × 高”，然后把所有小段加起来。

对于定义在 $[a,b]$ 上的函数 $f$，黎曼和的一般公式是

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$

这里，$\Delta x_i$ 是第 $i$ 个子区间的宽度，$x_i^*$ 是在该子区间内选取的样本点。这个样本点可以是左端点、右端点，也可以是中点。

黎曼和的含义

定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 表示一个区间上的累积变化量。从几何上看，它通常表示曲线下方的带符号面积。

黎曼和用更容易相加的矩形来代替曲线。当分割越来越细时，这些矩形通常会更贴近函数图像。如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么更细的分割会使这些和趋近于精确的积分值。

这就是积分背后的核心思想：积分是这些微小累积量的极限。

左黎曼和、右黎曼和与中点黎曼和

如果所有子区间的宽度都相等，那么

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

而样本点的选取规则决定了和的类型：

• 左和：使用每个子区间的左端点。
• 右和：使用每个子区间的右端点。
• 中点和：使用每个子区间的中点。

这些选择会影响估计值是偏大还是偏小。如果函数在整个区间上单调递增，那么左和会低估，右和会高估。不过，这个结论依赖于函数在该区间上确实是递增的。

例题：在 $[0,2]$ 上求 $f(x) = x^2$ 的右黎曼和

用 $n=4$ 个等长子区间的右黎曼和来近似 $\int_0^2 x^2\,dx$。

先求每个子区间的宽度：

$$\Delta x = \frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}$$

因为这是右和，所以取右端点：

$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{3}{2}, \quad x_4 = 2$$

现在计算函数值：

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}, \quad f(1) = 1, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}, \quad f(2) = 4$$

构造和式：

$$R_4 = \left(\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4\right)\frac{1}{2}$$

先计算括号内的和：

$$\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4 = \frac{15}{2}$$

所以

$$R_4 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4} = 3.75$$

精确的积分值是

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$$

这里更重要的是比较结果，而不是单纯做算术。右和得到 $3.75$，而精确积分约为 $2.67$，所以右和是高估。这是因为 $x^2$ 在 $[0,2]$ 上单调递增，使得每个取右端点的矩形都稍微偏高。

黎曼和中的常见错误

1. 混淆 $\Delta x$ 和样本点。$\Delta x$ 是宽度；$x_i^*$ 是用来测量高度的位置。
2. 题目要求用左端点时却用了右端点，或者反过来。
3. 忘记估计值可能高于或低于精确积分，这取决于函数和样本点规则。
4. 把每个黎曼和都当成普通面积。如果函数在 $x$ 轴下方，那么定积分和黎曼和给出的是带符号面积，而不是实际总面积。
5. 以为增加矩形数量总能解决所有问题。在连续等常见条件下，更细的分割会提高近似精度，但在真正取极限之前，它仍然只是近似。

黎曼和的应用场景

只要一个量是由许多微小贡献累积而成，黎曼和就很有用。

• 在微积分中，它帮助理解定积分的直观含义。
• 在物理中，它可以用来刻画由速度样本累积得到的位移等量。
• 在数值计算中，当精确原函数不方便求出，或者重点不在求原函数时，它能提供简单的近似估计。

在机械地套用原函数公式之前，黎曼和也是检验你是否真正理解积分含义的一种实用方法。

快速理解这个公式的方法

每一项 $f(x_i^*) \Delta x_i$ 都表示一个微小贡献。整个求和式的意思就是：把整个区间上的所有微小贡献加起来。

这种结构在整个微积分中都会反复出现：微小贡献乘以宽度，然后相加。黎曼和在极限记号把它变成积分之前，先把这种结构清楚地展示出来。

试着做一道类似题

试着对 $[0,2]$ 上的 $f(x)=x^2$，在同样的 $n=4$ 条件下使用中点和。然后把结果与上面的右和以及精确值 $\frac{8}{3}$ 进行比较。这是快速看出样本点选择如何影响估计值的好方法。