리만 합: 정의, 공식, 예제

리만 합은 구간을 작은 조각으로 나누고, 각 조각 위에 직사각형을 만든 뒤, 그 넓이를 모두 더해서 정적분을 근사하는 방법입니다. 간단히 말해 각 조각에서 가로 길이와 세로 길이를 곱한 다음, 그것들을 모두 더하는 것입니다.

구간 $[a,b]$에서 함수 $f$에 대한 일반적인 리만 합 공식은 다음과 같습니다.

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$

여기서 $\Delta x_i$는 $i$번째 부분구간의 너비이고, $x_i^*$는 그 부분구간 안에서 선택한 표본점입니다. 표본점은 왼쪽 끝점, 오른쪽 끝점, 또는 중점이 될 수 있습니다.

리만 합의 의미

정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$는 어떤 구간에서 누적된 변화를 나타냅니다. 기하적으로는 보통 곡선 아래의 부호 있는 넓이를 뜻합니다.

리만 합은 곡선을 더하기 쉬운 직사각형들로 바꾸어 생각합니다. 구간을 더 잘게 나눌수록 직사각형은 그래프를 더 가깝게 따라갑니다. $f$가 $[a,b]$에서 연속이면, 분할을 더 촘촘하게 할수록 합은 정확한 적분값에 가까워집니다.

이것이 적분의 핵심 아이디어입니다. 적분은 이렇게 작은 누적 조각들의 극한입니다.

왼쪽, 오른쪽, 중점 리만 합

부분구간의 너비가 모두 같다면,

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

표본점을 어떻게 고르느냐에 따라 합의 종류가 정해집니다.

• 왼쪽 합: 각 부분구간의 왼쪽 끝점을 사용합니다.
• 오른쪽 합: 각 부분구간의 오른쪽 끝점을 사용합니다.
• 중점 합: 각 부분구간의 중점을 사용합니다.

이 선택에 따라 근삿값이 실제보다 클 수도 있고 작을 수도 있습니다. 함수가 전체 구간에서 증가하면, 왼쪽 합은 과소추정이고 오른쪽 합은 과대추정입니다. 다만 이 결론은 그 구간에서 함수가 실제로 증가할 때에만 성립합니다.

계산 예제: $[0,2]$에서 $f(x) = x^2$의 오른쪽 리만 합

$n=4$개의 같은 너비 부분구간을 사용하여 $\int_0^2 x^2\,dx$를 오른쪽 리만 합으로 근사해 봅시다.

먼저 각 부분구간의 너비를 구합니다.

$$\Delta x = \frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}$$

오른쪽 합이므로 오른쪽 끝점을 사용합니다.

$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{3}{2}, \quad x_4 = 2$$

이제 함수값을 계산합니다.

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}, \quad f(1) = 1, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}, \quad f(2) = 4$$

합을 만들면 다음과 같습니다.

$$R_4 = \left(\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4\right)\frac{1}{2}$$

괄호 안을 더하면,

$$\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4 = \frac{15}{2}$$

따라서

$$R_4 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4} = 3.75$$

정확한 적분값은

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$$

여기서 중요한 것은 계산 자체보다 비교입니다. 오른쪽 합은 $3.75$이고 정확한 적분값은 약 $2.67$이므로, 오른쪽 합은 과대추정입니다. 이는 $x^2$가 $[0,2]$에서 증가함수이기 때문에, 각 오른쪽 끝점 직사각형의 높이가 조금씩 크게 잡히기 때문입니다.

리만 합에서 자주 하는 실수

1. $\Delta x$와 표본점을 혼동하는 것. $\Delta x$는 너비이고, $x_i^*$는 높이를 재는 위치입니다.
2. 문제에서 왼쪽 끝점을 쓰라고 했는데 오른쪽 끝점을 쓰는 것, 또는 그 반대.
3. 함수와 표본점 선택 방식에 따라 근삿값이 정확한 적분값보다 클 수도 있고 작을 수도 있다는 점을 잊는 것.
4. 모든 리만 합을 그냥 넓이로만 생각하는 것. 함수가 $x$축 아래에 있으면 정적분과 리만 합은 전체 물리적 넓이가 아니라 부호 있는 넓이를 나타냅니다.
5. 직사각형 수를 늘리면 모든 문제가 항상 해결된다고 생각하는 것. 연속성과 같은 표준 조건에서는 더 촘촘한 분할이 근사를 개선하지만, 극한의 개념까지 고려하기 전에는 여전히 근사값입니다.

리만 합이 사용되는 경우

리만 합은 어떤 양이 많은 작은 기여들의 합으로 이루어질 때 유용합니다.

• 미적분학에서는 정적분의 직관을 제공합니다.
• 물리학에서는 속도 표본값으로부터 변위를 누적하는 양을 모델링할 수 있습니다.
• 수치 계산에서는 정확한 원시함수를 구하기 어렵거나 그것이 핵심이 아닐 때 간단한 근삿값을 제공합니다.

또한 리만 합은 원시함수 공식을 기계적으로 적용하기 전에, 적분이 실제로 무엇을 뜻하는지 이해했는지 점검하는 실용적인 방법이기도 합니다.

공식을 빠르게 읽는 방법

각 항 $f(x_i^*) \Delta x_i$는 하나의 작은 기여입니다. 전체 합은 구간 전체에서 이런 작은 기여들을 모두 더하라는 뜻입니다.

이 패턴은 미적분 전반에 걸쳐 반복해서 나타납니다. 작은 기여에 너비를 곱하고, 그것을 모두 더하는 것입니다. 리만 합은 극한 표기법이 이것을 적분으로 바꾸기 전에 그 구조를 눈에 보이게 해 줍니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 $n=4$에 대해 $[0,2]$에서 $f(x)=x^2$의 중점 합을 구해 보세요. 그런 다음 위의 오른쪽 합과 정확한 값 $\frac{8}{3}$와 비교해 보세요. 그러면 표본점 선택이 근삿값을 어떻게 바꾸는지 빠르게 확인할 수 있습니다.