リーマン和の定義・公式・例

リーマン和は、区間を小さな部分に分け、それぞれに長方形を作って面積を足し合わせることで、定積分を近似する方法です。要するに、各区切りで「幅 × 高さ」を計算し、それらを全部足します。

区間 $[a,b]$ 上の関数 $f$ に対して、一般的なリーマン和の公式は

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$

です。

ここで、$\Delta x_i$ は第 $i$ 小区間の幅、$x_i^*$ はその小区間内で選ぶ標本点です。標本点には、左端、右端、中点などを使います。

リーマン和の意味

定積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ は、ある区間にわたる累積的な変化量を表します。幾何学的には、多くの場合、曲線の下の符号付き面積を意味します。

リーマン和では、曲線を足しやすい長方形で置き換えます。区切りを細かくすると、長方形はふつうグラフにより近づきます。$f$ が $[a,b]$ で連続なら、分割を細かくするほど、和は正確な積分値に近づきます。

これが積分の基本的な考え方です。積分とは、このような小さな寄与の和の極限なのです。

左リーマン和・右リーマン和・中点リーマン和

すべての小区間の幅が等しいとき、

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

となり、どの標本点を使うかで和の種類が決まります。

• 左和: 各小区間の左端を使う。
• 右和: 各小区間の右端を使う。
• 中点和: 各小区間の中点を使う。

この選び方によって、近似値が大きすぎたり小さすぎたりします。関数が区間全体で増加しているなら、左和は過小評価、右和は過大評価になります。ただし、この結論はその区間で実際に関数が増加していることに依存します。

計算例: $[0,2]$ 上の $f(x) = x^2$ に対する右リーマン和

$\int_0^2 x^2\,dx$ を、等しい $n=4$ 個の小区間による右リーマン和で近似します。

まず、各小区間の幅を求めます。

$$\Delta x = \frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}$$

右和なので、右端の点を使います。

$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{3}{2}, \quad x_4 = 2$$

次に、関数値を計算します。

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}, \quad f(1) = 1, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}, \quad f(2) = 4$$

和を作ると、

$$R_4 = \left(\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4\right)\frac{1}{2}$$

です。

かっこの中を足すと、

$$\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4 = \frac{15}{2}$$

したがって、

$$R_4 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4} = 3.75$$

となります。

一方、正確な積分値は

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$$

です。

ここで大事なのは、計算そのものより比較です。右和は $3.75$ ですが、正確な積分値は約 $2.67$ なので、右和は過大評価になっています。これは $x^2$ が $[0,2]$ で増加しているため、右端を使った各長方形の高さが少しずつ高くなりすぎるからです。

リーマン和でよくある間違い

1. $\Delta x$ と標本点を混同すること。$\Delta x$ は幅で、$x_i^*$ は高さを測る位置です。
2. 問題が左端を指定しているのに右端を使う、またはその逆をしてしまうこと。
3. 近似値が正確な積分値より上にも下にもなりうることを、関数や標本点の選び方に応じて考えないこと。
4. すべてのリーマン和を普通の面積だと思ってしまうこと。関数が $x$ 軸の下にあるとき、定積分やリーマン和が表すのは全体の面積ではなく符号付き面積です。
5. 長方形の数を増やせば必ずすべて解決すると考えること。連続性のような標準的な条件のもとでは分割を細かくすると近似は改善しますが、極限の考え方を使うまでは、あくまで近似です。

リーマン和が使われる場面

リーマン和は、ある量がたくさんの小さな寄与の積み重ねでできているときに役立ちます。

• 微積分では、定積分の直感的な意味を与えます。
• 物理では、速度の標本値から変位のような累積量をモデル化できます。
• 数値計算では、厳密な原始関数を求めにくいときや、それが本題でないときに、簡単な近似を与えます。

また、原始関数の公式を機械的に使う前に、積分の意味を本当に理解しているかを確かめる実用的なチェックにもなります。

公式の見方を手早くつかむ方法

各項 $f(x_i^*) \Delta x_i$ は、1つの小さな寄与を表しています。和全体は、「区間全体にわたる小さな寄与を全部足す」という意味です。

この形は微積分のいろいろな場面で現れます。小さな寄与に幅を掛けて、それを足すのです。リーマン和は、極限記号によって積分になる前のこの構造を、はっきり見える形にしてくれます。

似た問題に挑戦してみよう

同じ $n=4$ で、$[0,2]$ 上の $f(x)=x^2$ に対する中点和を求めてみましょう。そして、上の右和や正確な値 $\frac{8}{3}$ と比べてみてください。標本点の選び方で近似値がどう変わるかを、手早く確認できます。