Riemann-Summe: Definition, Formel und Beispiel

Eine Riemann-Summe nähert ein bestimmtes Integral an, indem ein Intervall in kleine Teilstücke zerlegt wird, auf jedem Teilstück ein Rechteck errichtet wird und die Flächen dieser Rechtecke addiert werden. Kurz gesagt: Breite mal Höhe auf jedem Abschnitt, dann alle Abschnitte addieren.

Für eine Funktion $f$ auf $[a,b]$ lautet die allgemeine Formel der Riemann-Summe

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$

Hier ist $\Delta x_i$ die Breite des $i$-ten Teilintervalls, und $x_i^*$ ist der Stützpunkt, der innerhalb dieses Teilintervalls gewählt wird. Der Stützpunkt kann der linke Randpunkt, der rechte Randpunkt oder der Mittelpunkt sein.

Was eine Riemann-Summe bedeutet

Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ misst die aufsummierte Änderung über ein Intervall. Geometrisch stellt es oft die orientierte Fläche unter dem Graphen dar.

Eine Riemann-Summe ersetzt den Graphen durch Rechtecke, die sich leichter addieren lassen. Wenn die Teilstücke schmaler werden, folgen die Rechtecke dem Graphen meist genauer. Ist $f$ auf $[a,b]$ stetig, dann nähern feinere Zerlegungen die Summen dem exakten Integral an.

Das ist die Grundidee hinter der Integration: Das Integral ist der Grenzwert dieser kleinen aufsummierten Beiträge.

Linke, rechte und Mittelpunkt-Riemann-Summen

Wenn alle Teilintervalle die gleiche Breite haben, dann gilt

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

und die Regel für den Stützpunkt bestimmt die Art der Summe:

• Linke Summe: Verwende den linken Randpunkt jedes Teilintervalls.
• Rechte Summe: Verwende den rechten Randpunkt jedes Teilintervalls.
• Mittelpunkt-Summe: Verwende den Mittelpunkt jedes Teilintervalls.

Diese Wahl kann verändern, ob die Schätzung zu groß oder zu klein ist. Wenn die Funktion auf dem ganzen Intervall wächst, unterschätzt eine linke Summe und eine rechte Summe überschätzt. Diese Aussage gilt nur, wenn die Funktion auf diesem Intervall tatsächlich monoton steigend ist.

Durchgerechnetes Beispiel: rechte Riemann-Summe für $f(x) = x^2$ auf $[0,2]$

Nähere $\int_0^2 x^2\,dx$ mit einer rechten Riemann-Summe mit $n=4$ gleich breiten Teilintervallen an.

Bestimme zuerst die Breite jedes Teilintervalls:

$$\Delta x = \frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}$$

Da dies eine rechte Summe ist, verwenden wir die rechten Randpunkte:

$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{3}{2}, \quad x_4 = 2$$

Nun werte die Funktion aus:

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}, \quad f(1) = 1, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}, \quad f(2) = 4$$

Bilde jetzt die Summe:

$$R_4 = \left(\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4\right)\frac{1}{2}$$

Addiere innerhalb der Klammern:

$$\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4 = \frac{15}{2}$$

Also gilt

$$R_4 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4} = 3.75$$

Das exakte Integral ist

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$$

Der Vergleich ist wichtiger als die Rechnung selbst. Die rechte Summe ergibt $3.75$, während das exakte Integral etwa $2.67$ ist, also ist die rechte Summe eine Überschätzung. Das passiert hier, weil $x^2$ auf $[0,2]$ wächst und dadurch jedes Rechteck mit rechtem Randpunkt etwas zu hoch ist.

Häufige Fehler bei Riemann-Summen

1. $\Delta x$ und den Stützpunkt verwechseln. $\Delta x$ ist die Breite; $x_i^*$ ist die Stelle, an der die Höhe gemessen wird.
2. Rechte Randpunkte verwenden, obwohl nach linken Randpunkten gefragt ist, oder umgekehrt.
3. Vergessen, dass die Schätzung je nach Funktion und Wahl des Stützpunkts über oder unter dem exakten Integral liegen kann.
4. Jede Riemann-Summe als gewöhnliche Fläche behandeln. Liegt die Funktion unter der $x$-Achse, dann liefern das bestimmte Integral und die Riemann-Summe eine orientierte Fläche, nicht die gesamte physikalische Fläche.
5. Annehmen, dass mehr Rechtecke jedes Problem automatisch lösen. Feinere Zerlegungen verbessern die Näherung unter üblichen Bedingungen wie Stetigkeit, aber die Summe bleibt eine Näherung, bis man die Grenzwertidee ernst nimmt.

Wann Riemann-Summen verwendet werden

Riemann-Summen sind nützlich, wenn eine Größe aus vielen kleinen Beiträgen aufgebaut ist.

• In der Analysis liefern sie die Anschauung hinter dem bestimmten Integral.
• In der Physik können sie aufsummierte Größen modellieren, etwa die Verschiebung aus Geschwindigkeitswerten.
• In numerischen Anwendungen liefern sie einfache Schätzungen, wenn eine exakte Stammfunktion unpraktisch ist oder nicht im Mittelpunkt steht.

Sie sind auch ein praktischer Test dafür, ob du wirklich verstehst, was ein Integral bedeutet, bevor du Stammfunktionsregeln nur mechanisch anwendest.

Eine schnelle Art, die Formel zu lesen

Jeder Term $f(x_i^*) \Delta x_i$ ist ein kleiner Beitrag. Die ganze Summe sagt: Addiere alle kleinen Beiträge über das Intervall.

Dasselbe Muster taucht in der gesamten Analysis auf: kleiner Beitrag mal Breite, dann addieren. Eine Riemann-Summe macht diese Struktur sichtbar, bevor die Grenzwertschreibweise daraus ein Integral macht.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche eine Mittelpunkt-Summe für $f(x)=x^2$ auf $[0,2]$ mit demselben $n=4$. Vergleiche sie dann mit der rechten Summe oben und dem exakten Wert $\frac{8}{3}$. So siehst du schnell, wie die Wahl des Stützpunkts die Schätzung verändert.