Suma Riemanna: definicja, wzór i przykład

Suma Riemanna przybliża całkę oznaczoną przez podzielenie przedziału na małe części, zbudowanie na każdej z nich prostokąta i zsumowanie pól tych prostokątów. Krótko: szerokość razy wysokość na każdym kawałku, a potem dodajemy wszystkie kawałki.

Dla funkcji $f$ na $[a,b]$ ogólny wzór na sumę Riemanna ma postać

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$

Tutaj $\Delta x_i$ to szerokość $i$-tego podprzedziału, a $x_i^*$ to punkt próbki wybrany wewnątrz tego podprzedziału. Punkt próbki może być lewym końcem, prawym końcem albo środkiem przedziału.

Co oznacza suma Riemanna

Całka oznaczona $\int_a^b f(x)\,dx$ mierzy skumulowaną zmianę na pewnym przedziale. Geometrycznie często oznacza pole z uwzględnieniem znaku pod wykresem.

Suma Riemanna zastępuje krzywą prostokątami, które łatwiej dodać. Gdy podziały stają się cieńsze, prostokąty zwykle coraz lepiej odwzorowują wykres. Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$, to dokładniejszy podział sprawia, że sumy zbliżają się do dokładnej wartości całki.

To jest podstawowa idea całkowania: całka jest granicą tych małych skumulowanych części.

Lewe, prawe i środkowe sumy Riemanna

Jeśli wszystkie podprzedziały mają tę samą szerokość, to

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

a reguła wyboru punktu próbki określa rodzaj sumy:

• Suma lewa: użyj lewego końca każdego podprzedziału.
• Suma prawa: użyj prawego końca każdego podprzedziału.
• Suma środkowa: użyj środka każdego podprzedziału.

Te wybory mogą zmienić to, czy oszacowanie jest za duże, czy za małe. Jeśli funkcja rośnie na całym przedziale, suma lewa daje niedoszacowanie, a suma prawa przeszacowanie. Ten wniosek zależy od tego, czy funkcja rzeczywiście rośnie na danym przedziale.

Przykład: prawa suma Riemanna dla $f(x) = x^2$ na $[0,2]$

Przybliż $\int_0^2 x^2\,dx$ za pomocą prawej sumy Riemanna dla $n=4$ równych podprzedziałów.

Najpierw wyznacz szerokość każdego podprzedziału:

$$\Delta x = \frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}$$

Ponieważ jest to suma prawa, używamy prawych końców:

$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{3}{2}, \quad x_4 = 2$$

Teraz oblicz wartości funkcji:

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}, \quad f(1) = 1, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}, \quad f(2) = 4$$

Zbuduj sumę:

$$R_4 = \left(\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4\right)\frac{1}{2}$$

Dodaj wyrazy w nawiasie:

$$\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4 = \frac{15}{2}$$

Zatem

$$R_4 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4} = 3.75$$

Dokładna wartość całki to

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$$

Porównanie jest ważniejsze niż sama arytmetyka. Suma prawa daje $3.75$, a dokładna wartość całki wynosi około $2.67$, więc suma prawa jest przeszacowaniem. Dzieje się tak tutaj dlatego, że $x^2$ rośnie na $[0,2]$, co sprawia, że każdy prostokąt oparty na prawym końcu jest trochę za wysoki.

Typowe błędy przy sumach Riemanna

1. Mylenie $\Delta x$ z punktem próbki. $\Delta x$ to szerokość, a $x_i^*$ to miejsce, w którym mierzysz wysokość.
2. Używanie prawych końców, gdy zadanie wymaga lewych, albo odwrotnie.
3. Zapominanie, że oszacowanie może być większe lub mniejsze od dokładnej całki w zależności od funkcji i reguły wyboru punktu próbki.
4. Traktowanie każdej sumy Riemanna jak zwykłego pola. Jeśli funkcja leży poniżej osi $x$, całka oznaczona i suma Riemanna dają pole z uwzględnieniem znaku, a nie całkowite pole fizyczne.
5. Zakładanie, że większa liczba prostokątów zawsze rozwiązuje każdy problem. Dokładniejszy podział poprawia przybliżenie w standardowych warunkach, takich jak ciągłość, ale suma nadal pozostaje przybliżeniem, dopóki nie potraktujesz poważnie idei granicy.

Kiedy używa się sum Riemanna

Sumy Riemanna są przydatne wszędzie tam, gdzie pewna wielkość powstaje z wielu małych wkładów.

• W analizie matematycznej dają intuicję stojącą za całką oznaczoną.
• W fizyce mogą modelować skumulowane wielkości, takie jak przemieszczenie wyznaczane z próbek prędkości.
• W obliczeniach numerycznych dają proste oszacowania, gdy dokładna funkcja pierwotna jest niewygodna do wyznaczenia albo nie jest najważniejsza.

Są też praktycznym sprawdzianem tego, czy naprawdę rozumiesz, co oznacza całka, zanim zaczniesz mechanicznie stosować reguły dla funkcji pierwotnych.

Szybki sposób czytania wzoru

Każdy wyraz $f(x_i^*) \Delta x_i$ to jeden mały wkład. Cała suma mówi: dodaj wszystkie małe wkłady na całym przedziale.

Ten sam schemat pojawia się w całym rachunku różniczkowym i całkowym: mały wkład razy szerokość, a potem dodawanie. Suma Riemanna pokazuje tę strukturę, zanim zapis granicy zamieni ją w całkę.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj obliczyć sumę środkową dla $f(x)=x^2$ na $[0,2]$ przy tym samym $n=4$. Następnie porównaj ją z prawą sumą powyżej i z dokładną wartością $\frac{8}{3}$. To szybki sposób, aby zobaczyć, jak wybór punktu próbki zmienia oszacowanie.