逆矩阵——如何求矩阵的逆

要找出一个 $2 \times 2$ 矩阵的逆，先计算行列式 $ad - bc$。如果这个数不为零，就交换对角线元素，改变非对角线元素的符号，再除以行列式。这样就得到逆矩阵。

逆矩阵就是能够“抵消”另一个矩阵作用的矩阵。如果 $A$ 有逆矩阵，记作 $A^{-1}$，那么

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

其中 $I$ 是单位矩阵。通俗地说，乘以 $A$ 会产生某种变换，而乘以 $A^{-1}$ 会把这种变换还原。

对于 $2 \times 2$ 矩阵，判断逆矩阵是否存在的方法很简单：当且仅当行列式不为零时，逆矩阵存在。

逆矩阵的含义

可以把矩阵看成一个对向量进行变换的机器。逆矩阵就是把输出重新还原成原始输入的那台机器。

这就是为什么逆矩阵在解方程组时很重要。如果

$$Ax = b$$

并且 $A$ 可逆，那么

$$x = A^{-1}b$$

这只有在 $A^{-1}$ 存在时才成立。

如何求 $2 \times 2$ 矩阵的逆

对于

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

其行列式为

$$\det(A) = ad - bc$$

如果 $ad - bc = 0$，就停止。这个矩阵是奇异矩阵，也就是说它没有逆矩阵。

如果 $ad - bc \ne 0$，那么

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

这个公式只适用于 $2 \times 2$ 矩阵。对于更大的矩阵，常见方法是在增广矩阵 $[A \mid I]$ 上做行化简。

例题：求逆矩阵并检验

设

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

先计算行列式：

$$\det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10$$

因为 $10 \ne 0$，所以逆矩阵存在。

现在应用公式。交换对角线元素 $4$ 和 $6$，把 $7$ 和 $2$ 变号，再除以 $10$：

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

所以

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix}$$

通过乘回去来检验：

$$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

这个检验很重要，因为只有当乘积是单位矩阵时，这个矩阵才算是真正的逆矩阵。

求逆矩阵时的常见错误

• 试图用通常的逆矩阵公式去求非方阵的逆。
• 继续计算前忘记先检查 $ad - bc = 0$ 是否成立。
• 只把各元素除以行列式，却没有交换对角线元素并把非对角线元素变号。
• 在非对角线项上出现符号错误。
• 误以为逆矩阵是把各个元素分别取倒数得到的。

逆矩阵的应用场景

当你需要还原一个线性变换，或者求解有唯一解的线性方程组时，就会用到逆矩阵。它也会出现在坐标变换问题中，以及应用数学、物理、工程和计算机图形学的许多领域。

在实际中，人们常常用行化简或矩阵分解来解方程组，而不是每次都去计算完整的逆矩阵。不过，理解逆矩阵仍然很有帮助，因为它能说明一个变换什么时候可以被还原。

试试类似的问题

求下列矩阵的逆：

$$\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

先检查行列式。然后使用 $2 \times 2$ 公式，再乘回去看看是否得到 $I$。