Inverse Matrix — So findest du die Inverse einer Matrix

Um die Inverse einer $2 \times 2$-Matrix zu finden, berechnest du zuerst die Determinante $ad - bc$. Ist diese Zahl nicht null, vertauschst du die Diagonaleinträge, änderst die Vorzeichen der Nebendiagonaleinträge und teilst durch die Determinante. So erhältst du die Inverse.

Eine inverse Matrix ist die Matrix, die die Wirkung einer anderen Matrix rückgängig macht. Wenn $A$ eine Inverse hat, geschrieben als $A^{-1}$, dann gilt

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Einfach gesagt: Die Multiplikation mit $A$ bewirkt etwas, und die Multiplikation mit $A^{-1}$ macht es wieder rückgängig.

Für eine $2 \times 2$-Matrix ist der entscheidende Existenztest einfach: Die Inverse existiert genau dann, wenn die Determinante nicht null ist.

Was eine inverse Matrix bedeutet

Stell dir eine Matrix als Maschine vor, die Vektoren transformiert. Eine inverse Matrix ist die Maschine, die aus dem Ergebnis wieder die ursprüngliche Eingabe zurückgewinnt.

Deshalb sind inverse Matrizen beim Lösen von Gleichungssystemen wichtig. Wenn

$$Ax = b$$

gilt und $A$ invertierbar ist, dann ist

$$x = A^{-1}b$$

Das funktioniert nur, wenn $A^{-1}$ existiert.

So findest du die Inverse einer $2 \times 2$-Matrix

Für

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

ist die Determinante

$$\det(A) = ad - bc$$

Wenn $ad - bc = 0$, stoppe. Die Matrix ist singulär, das heißt, sie hat keine Inverse.

Wenn $ad - bc \ne 0$, dann gilt

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Diese Formel gilt nur für $2 \times 2$-Matrizen. Für größere Matrizen ist ein übliches Verfahren die Zeilenumformung der erweiterten Matrix $[A \mid I]$.

Durchgerechnetes Beispiel: Finde die Inverse und überprüfe sie

Sei

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

Berechne zuerst die Determinante:

$$\det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10$$

Weil $10 \ne 0$, existiert die Inverse.

Wende jetzt die Formel an. Vertausche die Diagonaleinträge $4$ und $6$, ändere die Vorzeichen von $7$ und $2$ und teile durch $10$:

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

Also ist

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix}$$

Überprüfe das durch Rückmultiplizieren:

$$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Diese Kontrolle ist wichtig, denn eine Matrix gilt nur dann als Inverse, wenn das Produkt die Einheitsmatrix ist.

Häufige Fehler beim Bestimmen einer inversen Matrix

• Zu versuchen, eine nichtquadratische Matrix mit der üblichen Inversenformel zu invertieren.
• Zu vergessen, vor dem Weiterrechnen zu prüfen, ob $ad - bc = 0$ ist.
• Durch die Determinante zu teilen, ohne die Diagonaleinträge zu vertauschen und die Vorzeichen der Nebendiagonaleinträge zu ändern.
• Einen Vorzeichenfehler bei den Nebendiagonaleinträgen zu machen.
• Zu denken, die Inverse entstehe dadurch, dass man die Kehrwerte der Einträge nimmt.

Wann inverse Matrizen verwendet werden

Inverse Matrizen tauchen auf, wenn du eine lineare Transformation rückgängig machen oder ein lineares Gleichungssystem mit eindeutiger Lösung lösen musst. Sie kommen auch bei Koordinatenwechseln und in vielen Bereichen der angewandten Mathematik, Physik, Technik und Computergrafik vor.

In der Praxis löst man Systeme oft lieber mit Zeilenumformungen oder Matrixfaktorisierung, statt jedes Mal eine vollständige Inverse zu berechnen. Trotzdem hilft das Verständnis der Inversen dabei, lineare Algebra besser zu verstehen, weil es zeigt, wann sich eine Transformation rückgängig machen lässt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Bestimme die Inverse von

$$\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

Prüfe zuerst die Determinante. Verwende dann die $2 \times 2$-Formel und multipliziere zurück, um zu sehen, ob du $I$ erhältst.