Matrice inverse — comment trouver l’inverse d’une matrice

Pour trouver l’inverse d’une matrice $2 \times 2$, commencez par calculer le déterminant $ad - bc$. Si ce nombre n’est pas nul, permutez les coefficients de la diagonale, changez les signes des coefficients hors diagonale, puis divisez par le déterminant. Vous obtenez ainsi l’inverse.

Une matrice inverse est la matrice qui annule l’effet d’une autre matrice. Si $A$ a un inverse, noté $A^{-1}$, alors

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

où $I$ est la matrice identité. En langage simple, multiplier par $A$ produit une transformation, et multiplier par $A^{-1}$ l’annule.

Pour une matrice $2 \times 2$, le critère d’existence est simple : l’inverse existe exactement lorsque le déterminant n’est pas nul.

Ce que signifie une matrice inverse

Considérez une matrice comme une machine qui transforme des vecteurs. Une matrice inverse est la machine qui prend le résultat et retrouve l’entrée d’origine.

C’est pour cela que les matrices inverses sont importantes dans la résolution de systèmes. Si

$$Ax = b$$

et si $A$ est inversible, alors

$$x = A^{-1}b$$

Cela ne fonctionne que lorsque $A^{-1}$ existe.

Comment trouver l’inverse d’une matrice $2 \times 2$

Pour

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

le déterminant est

$$\det(A) = ad - bc$$

Si $ad - bc = 0$, arrêtez-vous. La matrice est singulière, ce qui signifie qu’elle n’a pas d’inverse.

Si $ad - bc \ne 0$, alors

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Cette formule s’applique uniquement aux matrices $2 \times 2$. Pour des matrices plus grandes, une méthode courante consiste à faire une réduction par lignes sur la matrice augmentée $[A \mid I]$.

Exemple corrigé : trouver l’inverse et le vérifier

Soit

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

Calculons d’abord le déterminant :

$$\det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10$$

Comme $10 \ne 0$, l’inverse existe.

Appliquons maintenant la formule. Permutez les coefficients diagonaux $4$ et $6$, changez les signes de $7$ et $2$, puis divisez par $10$ :

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

Donc

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix}$$

Vérifiez-le en remultipliant :

$$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Cette vérification est importante, car une matrice n’est un inverse que si le produit est la matrice identité.

Erreurs fréquentes quand on cherche une matrice inverse

• Essayer d’inverser une matrice non carrée avec la formule usuelle de l’inverse.
• Oublier de vérifier si $ad - bc = 0$ avant de continuer.
• Diviser par le déterminant sans permuter les coefficients diagonaux ni changer le signe des coefficients hors diagonale.
• Faire une erreur de signe dans les termes hors diagonale.
• Penser que l’inverse s’obtient en prenant les inverses des coefficients.

Quand utilise-t-on les matrices inverses ?

Les matrices inverses apparaissent lorsqu’il faut annuler une transformation linéaire ou résoudre un système d’équations linéaires ayant une solution unique. Elles interviennent aussi dans les problèmes de changement de coordonnées et dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées, de la physique, de l’ingénierie et de l’infographie.

En pratique, on résout souvent les systèmes par réduction par lignes ou par factorisation matricielle au lieu de calculer un inverse complet à chaque fois. Mais comprendre l’inverse aide quand même à donner du sens à l’algèbre linéaire, car cela montre quand une transformation peut être annulée.

Essayez un problème similaire

Trouvez l’inverse de

$$\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

Commencez par vérifier le déterminant. Utilisez ensuite la formule en $2 \times 2$ et remultipliez pour voir si vous obtenez $I$.