เมทริกซ์ผกผัน — วิธีหาอินเวอร์สของเมทริกซ์

ในการหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ $2 \times 2$ ให้คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ $ad - bc$ ก่อน ถ้าค่านั้นไม่เป็นศูนย์ ให้สลับสมาชิกบนแนวทแยงหลัก เปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกนอกแนวทแยง แล้วหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ ก็จะได้เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ที่ย้อนผลของอีกเมทริกซ์หนึ่ง ถ้า $A$ มีอินเวอร์ส เขียนเป็น $A^{-1}$ แล้วจะได้ว่า

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

โดยที่ $I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ พูดง่าย ๆ คือ การคูณด้วย $A$ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง และการคูณด้วย $A^{-1}$ จะย้อนการเปลี่ยนแปลงนั้นกลับ

สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$ เงื่อนไขสำคัญในการมีอยู่ของอินเวอร์สนั้นง่ายมาก: อินเวอร์สจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์

เมทริกซ์ผกผันหมายถึงอะไร

ลองมองเมทริกซ์เป็นเครื่องจักรที่แปลงเวกเตอร์ เมทริกซ์ผกผันคือเครื่องจักรที่รับผลลัพธ์แล้วกู้คืนข้อมูลนำเข้าเดิมกลับมา

นี่จึงเป็นเหตุผลที่เมทริกซ์ผกผันสำคัญในการแก้ระบบสมการ ถ้า

$$Ax = b$$

และ $A$ กลับด้านได้ จะได้ว่า

$$x = A^{-1}b$$

วิธีนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $A^{-1}$ มีอยู่จริง

วิธีหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ $2 \times 2$

สำหรับ

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

ดีเทอร์มิแนนต์คือ

$$\det(A) = ad - bc$$

ถ้า $ad - bc = 0$ ให้หยุด เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่มีอินเวอร์ส

ถ้า $ad - bc \ne 0$ จะได้ว่า

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะกับเมทริกซ์ $2 \times 2$ เท่านั้น สำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่กว่า วิธีที่ใช้กันบ่อยคือการทำ row reduction กับเมทริกซ์เสริม $[A \mid I]$

ตัวอย่างโจทย์: หาอินเวอร์สและตรวจคำตอบ

ให้

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

เริ่มจากคำนวณดีเทอร์มิแนนต์:

$$\det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10$$

เนื่องจาก $10 \ne 0$ จึงมีอินเวอร์ส

ตอนนี้ใช้สูตรได้เลย สลับสมาชิกบนแนวทแยงหลักคือ $4$ และ $6$ เปลี่ยนเครื่องหมายของ $7$ และ $2$ แล้วหารด้วย $10$:

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

ดังนั้น

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix}$$

ตรวจคำตอบโดยคูณกลับ:

$$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

การตรวจแบบนี้สำคัญ เพราะเมทริกซ์จะนับว่าเป็นอินเวอร์สได้ก็ต่อเมื่อผลคูณเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาเมทริกซ์ผกผัน

• พยายามหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ที่ไม่เป็นจัตุรัสด้วยสูตรอินเวอร์สแบบปกติ
• ลืมตรวจว่า $ad - bc = 0$ หรือไม่ก่อนทำต่อ
• หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์โดยไม่สลับสมาชิกบนแนวทแยงหลักและไม่เปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกนอกแนวทแยง
• ใส่เครื่องหมายผิดในสมาชิกนอกแนวทแยง
• คิดว่าอินเวอร์สได้มาจากการเอาส่วนกลับของสมาชิกแต่ละตัว

เมทริกซ์ผกผันถูกใช้เมื่อใด

เมทริกซ์ผกผันปรากฏเมื่อคุณต้องการย้อนการแปลงเชิงเส้น หรือแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเดียว นอกจากนี้ยังพบในปัญหาการเปลี่ยนพิกัด และในหลายส่วนของคณิตศาสตร์ประยุกต์ ฟิสิกส์ วิศวกรรม และคอมพิวเตอร์กราฟิก

ในทางปฏิบัติ คนมักแก้ระบบด้วย row reduction หรือการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ แทนการคำนวณอินเวอร์สเต็มทุกครั้ง แต่การเข้าใจอินเวอร์สก็ยังช่วยให้พีชคณิตเชิงเส้นเข้าใจง่ายขึ้น เพราะมันบอกได้ว่าการแปลงใดสามารถย้อนกลับได้

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

หาอินเวอร์สของ

$$\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

เริ่มจากตรวจดีเทอร์มิแนนต์ จากนั้นใช้สูตร $2 \times 2$ แล้วคูณกลับเพื่อตรวจว่าคุณได้ $I$ หรือไม่