역행렬 — 행렬의 역행렬 구하는 법

$2 \times 2$ 행렬의 역행렬을 구하려면 먼저 행렬식 $ad - bc$를 계산합니다. 이 값이 0이 아니면 대각 원소를 서로 바꾸고, 비대각 원소의 부호를 바꾼 뒤, 행렬식으로 나눕니다. 그러면 역행렬을 얻을 수 있습니다.

역행렬은 어떤 행렬의 작용을 되돌리는 행렬입니다. $A$의 역행렬이 존재하고 이를 $A^{-1}$라고 쓰면,

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

가 됩니다. 여기서 $I$는 단위행렬입니다. 쉽게 말해, $A$를 곱해서 생긴 변화를 $A^{-1}$를 곱해 다시 되돌릴 수 있다는 뜻입니다.

$2 \times 2$ 행렬에서는 존재 조건이 간단합니다. 행렬식이 0이 아닐 때, 그리고 그때에만 역행렬이 존재합니다.

역행렬의 의미

행렬을 벡터를 변환하는 기계라고 생각해 보세요. 역행렬은 그 출력값을 받아 원래 입력값을 복원하는 기계입니다.

그래서 연립방정식을 풀 때 역행렬이 중요합니다. 만약

$$Ax = b$$

이고 $A$가 가역이면,

$$x = A^{-1}b$$

가 됩니다.

이 방법은 $A^{-1}$가 존재할 때만 쓸 수 있습니다.

$2 \times 2$ 행렬의 역행렬 구하는 법

다음과 같은

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

행렬에서 행렬식은

$$\det(A) = ad - bc$$

입니다.

만약 $ad - bc = 0$이면 여기서 멈춰야 합니다. 이 행렬은 특이행렬이므로 역행렬이 없습니다.

반대로 $ad - bc \ne 0$이면,

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

입니다.

이 공식은 $2 \times 2$ 행렬에만 적용됩니다. 더 큰 행렬에서는 보통 확대행렬 $[A \mid I]$에 행 연산을 적용하는 방법을 사용합니다.

예제: 역행렬을 구하고 확인하기

다음을 보겠습니다.

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

먼저 행렬식을 계산합니다.

$$\det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10$$

$10 \ne 0$이므로 역행렬이 존재합니다.

이제 공식을 적용합니다. 대각 원소 $4$와 $6$을 서로 바꾸고, $7$과 $2$의 부호를 바꾼 뒤, $10$으로 나눕니다.

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

따라서

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix}$$

입니다.

이제 다시 곱해서 확인해 봅시다.

$$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

이 확인 과정은 중요합니다. 두 행렬의 곱이 단위행렬일 때만 그 행렬을 역행렬이라고 할 수 있기 때문입니다.

역행렬을 구할 때 자주 하는 실수

• 정사각행렬이 아닌 행렬에 일반적인 역행렬 공식을 적용하려는 것
• $ad - bc = 0$인지 확인하지 않고 계속 계산하는 것
• 대각 원소를 바꾸고 비대각 원소의 부호를 바꾸지 않은 채 행렬식으로만 나누는 것
• 비대각 원소의 부호를 잘못 처리하는 것
• 각 원소의 역수를 취하면 역행렬이 된다고 생각하는 것

역행렬은 언제 쓰이나요?

역행렬은 선형변환을 되돌리거나, 해가 하나뿐인 연립일차방정식을 풀 때 등장합니다. 또한 좌표변환 문제와 응용수학, 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스의 여러 분야에서도 쓰입니다.

실제로는 매번 전체 역행렬을 구하기보다 행 연산이나 행렬 분해로 연립방정식을 푸는 경우가 많습니다. 그래도 역행렬의 개념을 이해하면 선형대수를 더 잘 이해할 수 있습니다. 어떤 변환이 되돌릴 수 있는지 알려 주기 때문입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음 행렬의 역행렬을 구해 보세요.

$$\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

먼저 행렬식을 확인하세요. 그런 다음 $2 \times 2$ 공식을 사용하고, 다시 곱해서 $I$가 나오는지 확인해 보세요.