Macierz odwrotna — jak wyznaczyć macierz odwrotną

Aby wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy $2 \times 2$, najpierw oblicz wyznacznik $ad - bc$. Jeśli ta liczba jest różna od zera, zamień miejscami elementy na przekątnej, zmień znaki elementów poza przekątną i podziel przez wyznacznik. Otrzymasz wtedy macierz odwrotną.

Macierz odwrotna to macierz, która odwraca działanie innej macierzy. Jeśli $A$ ma macierz odwrotną, zapisywaną jako $A^{-1}$, to

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

gdzie $I$ to macierz jednostkowa. Mówiąc prościej, mnożenie przez $A$ coś robi, a mnożenie przez $A^{-1}$ to odwraca.

Dla macierzy $2 \times 2$ warunek istnienia jest prosty: macierz odwrotna istnieje dokładnie wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera.

Co oznacza macierz odwrotna

Pomyśl o macierzy jak o maszynie, która przekształca wektory. Macierz odwrotna to maszyna, która bierze wynik i odzyskuje pierwotne dane wejściowe.

Właśnie dlatego macierze odwrotne są ważne przy rozwiązywaniu układów równań. Jeśli

$$Ax = b$$

i $A$ jest odwracalna, to

$$x = A^{-1}b$$

To działa tylko wtedy, gdy istnieje $A^{-1}$.

Jak wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy $2 \times 2$

Dla

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

wyznacznik wynosi

$$\det(A) = ad - bc$$

Jeśli $ad - bc = 0$, zatrzymaj się. Macierz jest osobliwa, co oznacza, że nie ma macierzy odwrotnej.

Jeśli $ad - bc \ne 0$, to

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Ten wzór dotyczy tylko macierzy $2 \times 2$. Dla większych macierzy często stosuje się redukcję wierszy na macierzy rozszerzonej $[A \mid I]$.

Przykład: wyznacz macierz odwrotną i sprawdź wynik

Niech

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

Najpierw oblicz wyznacznik:

$$\det(A) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10$$

Ponieważ $10 \ne 0$, macierz odwrotna istnieje.

Teraz zastosuj wzór. Zamień miejscami elementy na przekątnej $4$ i $6$, zmień znaki przy $7$ i $2$, a następnie podziel przez $10$:

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}$$

Zatem

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix}$$

Sprawdź to przez ponowne wymnożenie:

$$\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/5 & -7/10 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

To sprawdzenie jest ważne, ponieważ macierz jest macierzą odwrotną tylko wtedy, gdy iloczyn daje macierz jednostkową.

Najczęstsze błędy przy wyznaczaniu macierzy odwrotnej

• Próba odwrócenia macierzy niekwadratowej za pomocą zwykłego wzoru na macierz odwrotną.
• Pominięcie sprawdzenia, czy $ad - bc = 0$, przed dalszymi obliczeniami.
• Dzielenie przez wyznacznik bez zamiany miejscami elementów na przekątnej i zmiany znaków elementów poza przekątną.
• Błąd znaku w elementach poza przekątną.
• Myślenie, że macierz odwrotna powstaje przez wzięcie odwrotności poszczególnych elementów.

Kiedy używa się macierzy odwrotnych

Macierze odwrotne pojawiają się wtedy, gdy trzeba odwrócić przekształcenie liniowe albo rozwiązać układ równań liniowych z jednym rozwiązaniem. Występują też w zadaniach ze zmianą układu współrzędnych oraz w wielu działach matematyki stosowanej, fizyki, inżynierii i grafiki komputerowej.

W praktyce często rozwiązuje się układy przez redukcję wierszy albo faktoryzację macierzy zamiast za każdym razem obliczać pełną macierz odwrotną. Mimo to zrozumienie macierzy odwrotnej pomaga lepiej pojąć algebrę liniową, bo pokazuje, kiedy dane przekształcenie można odwrócić.

Spróbuj podobnego zadania

Wyznacz macierz odwrotną do

$$\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

Zacznij od sprawdzenia wyznacznika. Następnie użyj wzoru dla $2 \times 2$ i wymnóż z powrotem, aby sprawdzić, czy otrzymasz $I$.