로그미분

로그미분은 먼저 양변에 $\ln$을 취한 다음 음함수 미분을 해서 도함수를 구하는 방법입니다. $x^x$처럼 지수가 변수인 함수나, 곱과 몫을 항별로 전개하면 복잡해지는 함수에서 특히 유용합니다.

만약 $x^x$를 어떻게 미분하는지 검색했다면, 이것이 표준적인 방법입니다. 보통의 거듭제곱 미분법은 지수가 상수가 아니므로 바로 적용할 수 없습니다.

로그미분은 어떻게 작동하나요

먼저

$$y = f(x)$$

라고 둡니다.

그다음 양변에 자연로그를 취합니다:

$$\ln y = \ln(f(x))$$

이 방법의 핵심은, 미분하기 전에 로그 법칙이 복잡한 구조를 더 쉬운 형태로 바꿔 준다는 점입니다:

1. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
2. $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$
3. $\ln(a^r) = r \ln a$

세 번째 법칙이 특히 중요합니다. 지수를 앞으로 내려 인수로 바꿔 주기 때문에, 보통 훨씬 쉽게 미분할 수 있습니다.

언제 로그미분을 사용하나요

다음 중 하나라도 해당하면 로그미분이 특히 유용합니다:

1. 함수가 $x^x$나 $(x^2+1)^x$처럼 변수 지수를 가진 경우
2. 함수가 긴 곱이나 몫이라서 곱셈법칙과 몫의 미분법을 여러 번 쓰면 번거로운 경우
3. 로그를 취하면 미분하기 전에 식의 구조가 더 읽기 쉬워지는 경우

실수 범위의 미적분에서는 정의역이 중요합니다. 로그를 취하는 단계가 가능하려면 로그 안의 식이 사용하는 구간에서 양수여야 합니다. 많은 교과서 예제는 이 조건이 처음부터 성립하도록 선택됩니다.

예제: $y = x^x$ 미분하기

$x > 0$라고 가정합시다. 이 조건은 중요합니다. 실수 범위의 미적분에서 $\ln x$는 $x$가 양수일 때만 정의되기 때문입니다.

먼저

$$y = x^x$$

에서 시작합니다.

양변에 자연로그를 취하면

$$\ln y = \ln(x^x)$$

로그의 거듭제곱 법칙을 쓰면

$$\ln y = x \ln x$$

이제 양변을 $x$에 대해 미분합니다:

$$\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}(x \ln x)$$

오른쪽은 곱의 미분법이 필요합니다:

$$\frac{d}{dx}(x \ln x) = \ln x + 1$$

따라서

$$\frac{y'}{y} = \ln x + 1$$

양변에 $y$를 곱하면

$$y' = y(\ln x + 1)$$

이제 $y$를 원래 함수로 바꾸면

$$y' = x^x(\ln x + 1)$$

따라서 $x > 0$에서 $x^x$의 도함수는

$$\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(\ln x + 1)$$

입니다.

왜 이 방법이 도움이 되나요

로그미분을 쓰지 않으면, $x^x$는 보통의 거듭제곱 미분법 $d(x^n)/dx = nx^{n-1}$에 맞지 않습니다. 이 공식은 $n$이 상수라고 가정하기 때문입니다.

로그를 취하고 나면 지수가 $x \ln x$라는 곱의 일부가 되고, 다시 익숙한 미분법을 적용할 수 있습니다. 기억해야 할 핵심은 이것입니다. 로그는 미분하기 전에 식의 구조를 다시 정리해 줍니다.

자주 하는 실수

1. 정의역 확인을 건너뛰는 것. 실수 범위에서는 $\ln$의 입력값이 양수여야 합니다.
2. $\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{y'}{y}$인데, 이를 그냥 $y'$로 착각하는 것
3. $x \ln x$를 잘못 미분해서 곱의 미분법을 놓치는 것
4. $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$에서 멈추고 마지막에 $y$를 곱하는 것을 잊는 것
5. 더 간단한 방법이 있는데도 굳이 로그미분을 사용하는 것

학생들은 어디에서 로그미분을 쓰나요

보통의 미분법으로 처리하면 복잡해지는 거듭제곱, 곱, 몫이 섞인 식을 다룰 때 미적분에서 이 방법을 자주 봅니다. 특히 지수가 변수인 도함수 문제에서 흔히 나오며, 최적화나 관련률로 넘어가기 전에 몇몇 공식을 단순화하는 데도 도움이 됩니다.

비슷한 로그미분 문제를 풀어 보세요

다음 식으로 직접 해 보세요:

$$y = (x^2 + 1)^x$$

이 식은 밑인 $x^2 + 1$이 모든 실수 $x$에서 항상 양수이므로, 로그를 취하는 단계가 어디서나 유효합니다. $\ln y$를 $x \ln(x^2 + 1)$로 바꾸고 그것을 깔끔하게 미분할 수 있다면, 로그미분의 핵심을 제대로 이해한 것입니다.