驻波

驻波是一种波形图样，它不像普通波那样沿介质传播。在理想情况下，当两个频率和振幅相同的波在同一介质中沿相反方向传播并发生干涉时，就会形成驻波。结果是一个静止的图样，其中波节和波腹的位置固定不变。

对于标准的理想模型，位移可以写成

$$y(x,t) = 2A \sin(kx)\cos(\omega t)$$

时间因子 $\cos(\omega t)$ 使介质持续振动，而空间因子 $\sin(kx)$ 则决定了哪些位置的振幅始终为零，哪些位置的振幅最大。

驻波中的波节与波腹

波节是位移在任何时刻都始终为零的位置。波腹是振动达到最大振幅的位置。

这是最主要的直观特征。有些点始终不动，而附近的点则以不同的振幅振动。虽然弦或空气柱中的物质仍在运动，但整个图样在空间中是固定的。

驻波何时形成

最常见的情形是波在边界处反射，并与入射波重叠。在两端固定的理想弦上，只有某些特定图样能够满足边界条件，也就是两端位移始终为零。

这就是为什么弦上的驻波只会出现在某些特定的波长和频率下，这些模式称为本征模或谐波。

对于一根两端固定、长度为 $L$ 的弦，

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}$$

以及

$$f_n = \frac{nv}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

其中 $v$ 是弦上的波速，$n$ 表示第几个谐波。

这些公式依赖于具体系统。它们适用于两端固定的理想弦，而不是所有驻波系统。

例题：固定弦上的第三谐波

假设一根弦两端固定，长度为 $L = 0.60\ \mathrm{m}$，弦上的波速为 $v = 120\ \mathrm{m/s}$。求第三谐波的频率。

对于两端固定的弦，

$$f_n = \frac{nv}{2L}$$

取 $n = 3$，

$$f_3 = \frac{3(120)}{2(0.60)} = \frac{360}{1.20} = 300\ \mathrm{Hz}$$

所以第三谐波的频率是 $300\ \mathrm{Hz}$。

波形也很重要。第三谐波表示弦中正好容纳三个半波长，因此弦的两端都是波节，内部还有两个波节。相邻两个波节之间的距离是 $L/3 = 0.20\ \mathrm{m}$。

快速直觉：为什么图样看起来像是静止的

行波会把波峰和波谷从一个位置带到另一个位置。驻波不会。干涉使波节和波腹的位置被固定下来。

系统中仍然有能量，但可见的图样不会像单个行波那样沿介质向前移动。这通常是学生最先需要理解的关键区别。

驻波中的常见错误

• 把任何振动的形状都叫作驻波。驻波的决定性特征是存在固定的波节。
• 在没有说明弦两端固定这一条件时，直接使用 $f_n = \frac{nv}{2L}$。
• 因为图样静止，就认为介质本身不动。图样不动，但大多数点仍然在振动。
• 认为任何反射波都能形成完美驻波。最理想的情况需要频率匹配、传播方向相反，以及合适的边界条件。
• 混淆波节和波腹。波节的位移为零；波腹的振幅最大。

驻波出现在哪里

驻波在弦、空气柱、乐器、微波腔以及物理和工程中的许多共振问题里都很重要。

它们之所以有用，是因为允许的振动模式是离散的。一旦边界确定，只有某些特定图样能够成立，而这正是谐波结构的来源。

试做一道类似的题

试着把同一道弦振动题改成求第一谐波或第二谐波，而不是第三谐波。只改变 $n$，就能很快看出波长、波节分布和频率之间的联系。

如果你之后还想继续研究另一种波动情形，可以把这个主题和干涉与衍射进行比较。驻波同样来自干涉，但其中几何条件和边界条件起到的作用更大。