สมการกำลังสอง — สูตรสมการกำลังสองและดิสคริมิแนนต์

สำหรับสมการกำลังสอง มีจุดสำคัญสองจุดที่มักถูกนำมาออกข้อสอบ: อย่างแรกคือการใช้ดิสคริมิแนนต์เพื่อพิจารณาลักษณะของราก จากนั้นจึงใช้สูตรสมการกำลังสองเพื่อคำนวณหารากจริง ๆ ขอเพียงคุณจัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้ สองขั้นตอนนี้ก็จะช่วยแก้โจทย์ส่วนใหญ่ได้อย่างน่าเชื่อถือ

รูปมาตรฐานคือ:

$ax^2 + bx + c = 0$

โดยที่ $a \ne 0$ คำว่า "กำลังสอง" หมายถึงเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรไม่ทราบค่าคือ $2$ ถ้า $a=0$ สมการนั้นจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป

ถ้าอยากจับใจความสำคัญก่อน ให้จำสูตรสองสูตรนี้ไว้:

$\Delta = b^2 - 4ac$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

สูตรแรกบอกคุณว่า "จะได้รากแบบไหน" ส่วนสูตรที่สองบอกว่า "รากเหล่านั้นมีค่าเท่าไรกันแน่"

สมการกำลังสองคืออะไร?

ตราบใดที่สมการถูกจัดรูปอย่างง่ายแล้ว และเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรไม่ทราบค่าคือ $2$ สมการนั้นก็เป็นสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

และ

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

ทั้งสองสมการเป็นสมการกำลังสอง

เงื่อนไขจำเป็นคือ $a$ ต้องไม่เท่ากับ $0$ เงื่อนไขนี้รับประกันว่าพจน์ $x^2$ มีอยู่จริงในนิพจน์

การใช้ดิสคริมิแนนต์เพื่อพิจารณารากจำนวนจริง

สำหรับสมการ:

$ax^2 + bx + c = 0$

ดิสคริมิแนนต์ถูกนิยามเป็น:

$\Delta = b^2 - 4ac$

ดิสคริมิแนนต์เองไม่ใช่ราก แต่จะบอกคุณได้อย่างรวดเร็วว่าควรคาดหวังอะไร:

1. ถ้า $\Delta > 0$ จะมีรากจำนวนจริงสองรากที่แตกต่างกัน
2. ถ้า $\Delta = 0$ จะมีรากซ้ำหนึ่งราก (หมายความว่ารากทั้งสองมีค่าเท่ากัน)
3. ถ้า $\Delta < 0$ จะไม่มีรากจำนวนจริง ถ้าโจทย์อนุญาตให้ใช้จำนวนเชิงซ้อน คุณจะได้คู่รากเชิงซ้อนที่เป็นสังยุคกัน

ดังนั้น จุดประสงค์ของดิสคริมิแนนต์ไม่ใช่การ "คำนวณแทนคุณ" แต่เป็นการบอกล่วงหน้าว่าคำตอบจะมีหน้าตาแบบไหน

วิธีใช้สูตรสมการกำลังสอง

เมื่อเขียนสมการในรูปมาตรฐานแล้ว คุณสามารถใช้สูตรสมการกำลังสองได้โดยตรง:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

สูตรนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกสมการ ตราบใดที่ $a \ne 0$ ถ้าสมการแยกตัวประกอบได้ง่าย การแยกตัวประกอบมักจะเร็วกว่า แต่ถ้าคุณมองหาตัวประกอบไม่ออก สูตรสมการกำลังสองมักเป็นวิธีที่น่าเชื่อถือที่สุด

ตัวอย่าง: แก้สมการโดยใช้ดิสคริมิแนนต์และสูตรสมการกำลังสอง

จงแก้สมการ:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

ขั้นแรก ระบุสัมประสิทธิ์:

$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$

คำนวณดิสคริมิแนนต์ก่อน:

$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

เนื่องจาก $\Delta = 12 > 0$ สมการนี้จึงมีรากจำนวนจริงสองรากที่แตกต่างกัน

จากนั้นแทนค่าลงในสูตรสมการกำลังสอง:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

ลดรูป $\sqrt{12}$ เป็น $2\sqrt{3}$:

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

ดังนั้น รากทั้งสองคือ:

$x_1 = 2 + \sqrt{3}, \qquad x_2 = 2 - \sqrt{3}$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นสองสิ่ง: ดิสคริมิแนนต์บอกก่อนว่ามี "รากจำนวนจริงสองรากที่แตกต่างกัน" จากนั้นสูตรสมการกำลังสองจึงให้ค่าที่แน่นอนของรากเหล่านั้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ไม่เริ่มจากรูปมาตรฐาน

ถ้าสมการไม่อยู่ในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ก็ง่ายที่จะระบุ $a$, $b$ หรือ $c$ ผิด ตัวสูตรเองถูกต้อง แต่ถ้าข้อมูลที่ใส่เข้าไปผิด คำตอบก็จะผิดตาม

อ่านค่า $-b$ ผิด

ถ้า $b=-4$ แล้ว $-b=4$ ไม่ใช่ $-4$ ข้อผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายแบบนี้พบบ่อยมาก และทำให้รากทั้งสองผิดทั้งคู่

เขียนตัวส่วนเป็น $2$

ตัวส่วนของสูตรสมการกำลังสองคือ $2a$ ไม่ใช่ $2$ คงที่ มันจะเท่ากับ $2$ ก็ต่อเมื่อบังเอิญ $a=1$ เท่านั้น

ลืมเครื่องหมาย $\pm$

การลืม $\pm$ มักทำให้พลาดรากไปหนึ่งราก รากทั้งสองจะรวมเป็นค่าเดียวก็ต่อเมื่อ $\Delta = 0$ เท่านั้น

ไม่สนใจว่าโจทย์ถามจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อ $\Delta < 0$ ถ้าโจทย์พูดถึงเฉพาะจำนวนจริง คุณควรตอบว่า "ไม่มีรากจำนวนจริง" และควรเขียนคำตอบเชิงซ้อนก็ต่อเมื่อโจทย์อนุญาตให้ใช้จำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น

สมการกำลังสองมักปรากฏที่ไหนบ้าง?

สมการกำลังสองปรากฏบ่อยในโจทย์เกี่ยวกับพาราโบลา พื้นที่ การเคลื่อนที่ และการหาค่าเหมาะที่สุด (ค่าสูงสุด/ต่ำสุด) เมื่อใดก็ตามที่มีพจน์กำลังสองปรากฏในความสัมพันธ์ มีแนวโน้มว่าจะสามารถจัดรูปให้เป็นสมการกำลังสองได้

ในมุมมองของฟังก์ชัน รากของสมการ $ax^2 + bx + c = 0$ คือจุดตัดของฟังก์ชันกำลังสอง $y=ax^2+bx+c$ กับแกน $x$ นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการเข้าใจว่าทำไมดิสคริมิแนนต์จึงสำคัญ: มันบอกว่ากราฟตัดแกน $x$ กี่ครั้ง

ลำดับขั้นตอนที่แนะนำ

เมื่อเจอสมการกำลังสอง ลำดับนี้มักปลอดภัยที่สุด:

1. จัดสมการให้อยู่ในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ก่อน
2. ระบุค่า $a$, $b$ และ $c$
3. คำนวณ $\Delta = b^2 - 4ac$ ก่อน เพื่อพิจารณาลักษณะของราก
4. จากนั้นค่อยตัดสินใจว่าจะใช้การแยกตัวประกอบ การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ หรือสูตรสมการกำลังสอง

วิธีนี้ผิดพลาดน้อยกว่าการรีบแทนตัวเลขลงในสูตรแบบอัตโนมัติทันที

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองแก้สมการ:

$2x^2 + x - 3 = 0$

ก่อนจะรีบคำนวณหาราก ให้พิจารณาก่อนว่าดิสคริมิแนนต์เป็นบวก ศูนย์ หรือลบ แล้วจึงใช้สูตรสมการกำลังสอง วิธีนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจมากขึ้นว่าเครื่องมือทั้งสองทำงานร่วมกันอย่างไร: "ดิสคริมิแนนต์ตัดสิน สูตรคำนวณ"

ถ้าอยากฝึกเพิ่ม ลองสมการกำลังสองอีกข้อที่แยกตัวประกอบได้ แล้วเปรียบเทียบว่าเมื่อใดการแยกตัวประกอบมีประสิทธิภาพมากกว่าการใช้สูตรสมการกำลังสอง