二次方程 — 求根公式与判别式

二次方程最常见的考点有两个: 先用判别式判断根的情况，再用求根公式算出根。只要你能把方程整理成标准形式，这两步就能稳定解出大多数题。

标准形式是

$$ax^2 + bx + c = 0$$

其中 $a \ne 0$。这里的“二次”指未知数的最高次数是 $2$。如果 $a=0$，它就不再是二次方程。

如果你只想先抓住核心，先记住这两个式子:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

前者告诉你“根会是什么类型”，后者告诉你“根具体是多少”。

二次方程是什么意思

只要方程整理后，未知数的最高次数是 $2$，它就是二次方程。比如

$$x^2 - 4x + 1 = 0$$

和

$$3x^2 + 2x - 5 = 0$$

都是二次方程。

必要条件是 $a$ 不能等于 $0$。这个条件决定了式子里确实有 $x^2$ 项。

判别式先判断有几个实数根

对于

$$ax^2 + bx + c = 0$$

判别式定义为

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

它本身不是根，但它能很快告诉你接下来会发生什么:

1. 如果 $\Delta > 0$，有两个不同的实数根。
2. 如果 $\Delta = 0$，有一个重根，也就是两个根相同。
3. 如果 $\Delta < 0$，在实数范围内没有根；如果题目允许复数，就会得到一对共轭复数根。

所以判别式的作用不是“帮你代公式”，而是先告诉你答案大概长什么样。

求根公式怎么用

当方程已经写成标准形式时，可以直接使用求根公式:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

它适用于任何二次方程，只要 $a \ne 0$。如果题目能直接因式分解，因式分解通常更快；如果看不出因式，求根公式往往是最稳妥的方法。

例题: 用判别式和求根公式解方程

解方程

$$x^2 - 4x + 1 = 0$$

先识别系数:

$$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$$

先算判别式:

$$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$$

因为 $\Delta = 12 > 0$，所以这个方程有两个不同的实数根。

再代入求根公式:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$$

再把 $\sqrt{12}$ 化简为 $2\sqrt{3}$:

$$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

所以两个根是

$$x_1 = 2 + \sqrt{3}, \qquad x_2 = 2 - \sqrt{3}$$

这个例子说明了两件事: 判别式先判断“有两个不同实根”，求根公式再给出根的具体值。

常见错误

没先写成标准形式

如果方程不是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的形式，就容易把 $a$、$b$、$c$ 读错。公式本身没问题，但输入错了，答案就会错。

把 $-b$ 看错

如果 $b=-4$，那么 $-b=4$，不是 $-4$。这类符号错误非常常见，而且会让两个根一起出错。

把分母写成 $2$

求根公式的分母是 $2a$，不是固定的 $2$。只有当 $a=1$ 时，它才刚好等于 $2$。

漏掉 $\pm$

漏掉 $\pm$ 往往会少写一个根。只有在 $\Delta = 0$ 时，两个根才会合并成同一个值。

没看题目讨论的是实数还是复数

当 $\Delta < 0$ 时，如果题目只讨论实数，就应该说明“无实数根”。只有在允许复数时，才继续往下写复数解。

二次方程常出现在哪些题里

二次方程常出现在抛物线、面积问题、运动问题和最值问题里。只要关系式里出现平方项，最后就很可能整理成二次方程。

从函数角度看，方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，就是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的交点。判别式之所以重要，也可以这样理解: 它在告诉你图像和 $x$ 轴相交几次。

做题时的顺序

遇到二次方程时，按下面顺序通常最稳:

1. 先整理成 $ax^2 + bx + c = 0$。
2. 识别 $a$、$b$、$c$。
3. 先算 $\Delta = b^2 - 4ac$，判断根的类型。
4. 再决定是因式分解、配方法，还是直接用求根公式。

这样比一上来机械代公式更不容易出错。

试着自己做一题

试着解

$$2x^2 + x - 3 = 0$$

先别急着算根，先判断判别式是正、零还是负，再用求根公式算一遍。你会更清楚“判别式负责判断，求根公式负责求值”这两个工具怎么配合。

如果你想继续练习，可以再试一个能因式分解的二次方程，对比一下因式分解和求根公式各自什么时候更省力。