Équations du second degré — Formule quadratique et discriminant

Concernant les équations du second degré, deux points reviennent sans cesse dans les exercices : d'abord, utiliser le discriminant pour déterminer la nature des racines, puis utiliser la formule quadratique pour calculer les racines elles-mêmes. Tant que vous savez mettre l'équation sous sa forme canonique, ces deux étapes vous permettront de résoudre la plupart des problèmes de manière fiable.

La forme standard est :

$ax^2 + bx + c = 0$

où $a \ne 0$. Le terme « second degré » fait référence au fait que la plus haute puissance de l'inconnue est $2$. Si $a=0$, ce n'est plus une équation du second degré.

Si vous voulez d'abord saisir l'essentiel, retenez simplement ces deux formules :

$\Delta = b^2 - 4ac$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

La première vous indique « quel type de racines vous allez obtenir », la seconde vous indique « la valeur exacte de ces racines ».

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Dès lors que l'équation est simplifiée et que la plus haute puissance de l'inconnue est $2$, c'est une équation du second degré. Par exemple :

$x^2 - 4x + 1 = 0$

et

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

sont toutes deux des équations du second degré.

Une condition nécessaire est que $a$ ne soit pas égal à $0$. Cette condition garantit que le terme en $x^2$ existe réellement dans l'expression.

Utiliser le discriminant pour déterminer les racines réelles

Pour l'équation :

$ax^2 + bx + c = 0$

le discriminant est défini par :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Le discriminant n'est pas une racine en soi, mais il vous indique rapidement à quoi vous attendre :

1. Si $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes.
2. Si $\Delta = 0$, il y a une racine double (c'est-à-dire que les deux racines sont identiques).
3. Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles. Si le problème autorise les nombres complexes, vous obtiendrez une paire de racines complexes conjuguées.

Le rôle du discriminant n'est donc pas de « faire le calcul à votre place », mais de vous donner un aperçu de ce à quoi ressemblera la réponse.

Comment utiliser la formule quadratique

Une fois l'équation écrite sous forme standard, vous pouvez appliquer directement la formule quadratique :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Elle fonctionne pour toute équation du second degré, à condition que $a \ne 0$. Si l'équation se factorise facilement, la factorisation est généralement plus rapide ; mais si vous ne repérez pas les facteurs, la formule quadratique reste souvent la méthode la plus fiable.

Exemple : résoudre une équation avec le discriminant et la formule quadratique

Résolvez l'équation :

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Identifiez d'abord les coefficients :

$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$

Calculez d'abord le discriminant :

$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

Comme $\Delta = 12 > 0$, cette équation possède deux racines réelles distinctes.

Substituez maintenant dans la formule quadratique :

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

Simplifiez $\sqrt{12}$ en $2\sqrt{3}$ :

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Les deux racines sont donc :

$x_1 = 2 + \sqrt{3}, \qquad x_2 = 2 - \sqrt{3}$

Cet exemple illustre deux choses : le discriminant établit d'abord qu'il y a « deux racines réelles distinctes », puis la formule quadratique fournit les valeurs précises de ces racines.

Erreurs courantes

Ne pas commencer par la forme standard

Si l'équation n'est pas sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$, il est facile de mal identifier $a$, $b$ ou $c$. La formule en elle-même est correcte, mais si les données d'entrée sont fausses, la réponse sera fausse.

Mal lire $-b$

Si $b=-4$, alors $-b=4$, et non $-4$. Ce type d'erreur de signe est très fréquent et rend les deux racines incorrectes.

Écrire le dénominateur comme $2$

Le dénominateur de la formule quadratique est $2a$, et non un $2$ fixe. Il ne vaut $2$ que lorsque $a=1$.

Oublier le $\pm$

Oublier le $\pm$ conduit souvent à manquer l'une des racines. Les deux racines ne se confondent en une seule valeur que lorsque $\Delta = 0$.

Ignorer si le problème demande des nombres réels ou complexes

Lorsque $\Delta < 0$, si le problème ne traite que des nombres réels, vous devez répondre « pas de racines réelles ». Vous ne devez écrire les solutions complexes que si les nombres complexes sont autorisés.

Où rencontre-t-on habituellement les équations du second degré ?

Les équations du second degré apparaissent fréquemment dans les problèmes de paraboles, d'aires, de mouvement et d'optimisation (valeurs maximales/minimales). Dès qu'un terme au carré apparaît dans une relation, il est probable qu'elle puisse se ramener à une équation du second degré.

D'un point de vue fonctionnel, les racines de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont les points d'intersection de la fonction quadratique $y=ax^2+bx+c$ avec l'axe des $x$. C'est une autre façon de comprendre l'importance du discriminant : il vous dit combien de fois la courbe coupe l'axe des $x$.

Démarche recommandée

Face à une équation du second degré, cet ordre est généralement le plus sûr :

1. Mettez-la d'abord sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifiez $a$, $b$ et $c$.
3. Calculez d'abord $\Delta = b^2 - 4ac$ pour déterminer la nature des racines.
4. Décidez ensuite d'utiliser la factorisation, la complétion du carré ou la formule quadratique.

Cette approche est moins sujette aux erreurs que de remplacer mécaniquement les nombres dans la formule dès le départ.

À vous de jouer

Essayez de résoudre :

$2x^2 + x - 3 = 0$

Avant de vous précipiter sur le calcul des racines, déterminez si le discriminant est positif, nul ou négatif, puis utilisez la formule quadratique. Cela vous aidera à mieux comprendre comment ces deux outils fonctionnent ensemble : « le discriminant décide, la formule calcule ».

Si vous voulez vous entraîner davantage, essayez une autre équation du second degré qui se factorise, et comparez les cas où la factorisation est plus efficace que la formule quadratique.