Quadratische Gleichungen — Lösungsformel und Diskriminante

Bei quadratischen Gleichungen werden vor allem zwei Punkte geprüft: erstens, mit der Diskriminante die Art der Lösungen zu bestimmen, und zweitens, die Lösungen selbst mit der Lösungsformel zu berechnen. Solange du die Gleichung in ihre Normalform bringen kannst, führen dich diese beiden Schritte zuverlässig durch die meisten Aufgaben.

Die Normalform lautet:

$ax^2 + bx + c = 0$

wobei $a \ne 0$. Der Begriff „quadratisch" bezieht sich darauf, dass die höchste Potenz der Unbekannten $2$ ist. Wenn $a=0$ gilt, handelt es sich nicht mehr um eine quadratische Gleichung.

Wenn du zuerst die Kernkonzepte verstehen willst, merke dir einfach diese beiden Formeln:

$\Delta = b^2 - 4ac$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Die erste sagt dir, „welche Art von Lösungen du bekommst", die zweite sagt dir, „wie diese Lösungen genau aussehen".

Was ist eine quadratische Gleichung?

Solange die Gleichung vereinfacht ist und die höchste Potenz der Unbekannten $2$ beträgt, ist sie eine quadratische Gleichung. Zum Beispiel sind:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

und

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

beides quadratische Gleichungen.

Eine notwendige Bedingung ist, dass $a$ nicht gleich $0$ sein darf. Diese Bedingung stellt sicher, dass der Term $x^2$ im Ausdruck tatsächlich vorhanden ist.

Mit der Diskriminante reelle Lösungen bestimmen

Für die Gleichung:

$ax^2 + bx + c = 0$

ist die Diskriminante definiert als:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Die Diskriminante selbst ist keine Lösung, aber sie verrät dir schnell, was dich erwartet:

1. Wenn $\Delta > 0$, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
2. Wenn $\Delta = 0$, gibt es eine doppelte Lösung (d. h. beide Lösungen sind gleich).
3. Wenn $\Delta < 0$, gibt es keine reellen Lösungen. Falls die Aufgabe komplexe Zahlen zulässt, erhältst du ein Paar konjugiert komplexer Lösungen.

Der Zweck der Diskriminante ist also nicht, „die Rechnung für dich zu erledigen", sondern dir vorab zu zeigen, wie die Antwort aussehen wird.

Wie man die Lösungsformel verwendet

Sobald die Gleichung in Normalform geschrieben ist, kannst du direkt die Lösungsformel anwenden:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Sie funktioniert für jede quadratische Gleichung, vorausgesetzt $a \ne 0$. Wenn sich die Gleichung leicht faktorisieren lässt, ist das Faktorisieren meist schneller; wenn du die Faktoren jedoch nicht erkennst, ist die Lösungsformel oft die zuverlässigste Methode.

Beispiel: Eine Gleichung mit Diskriminante und Lösungsformel lösen

Löse die Gleichung:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Bestimme zuerst die Koeffizienten:

$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$

Berechne zuerst die Diskriminante:

$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

Da $\Delta = 12 > 0$, hat diese Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

Setze nun in die Lösungsformel ein:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

Vereinfache $\sqrt{12}$ zu $2\sqrt{3}$:

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Die beiden Lösungen sind also:

$x_1 = 2 + \sqrt{3}, \qquad x_2 = 2 - \sqrt{3}$

Dieses Beispiel zeigt zwei Dinge: Die Diskriminante stellt zuerst fest, dass es „zwei verschiedene reelle Lösungen" gibt, und die Lösungsformel liefert anschließend die konkreten Werte dieser Lösungen.

Häufige Fehler

Nicht mit der Normalform beginnen

Wenn die Gleichung nicht in der Form $ax^2 + bx + c = 0$ vorliegt, kann man $a$, $b$ oder $c$ leicht falsch ablesen. Die Formel selbst ist korrekt, aber wenn die Eingaben falsch sind, ist auch das Ergebnis falsch.

$-b$ falsch lesen

Wenn $b=-4$, dann ist $-b=4$, nicht $-4$. Diese Art von Vorzeichenfehler ist sehr häufig und führt dazu, dass beide Lösungen falsch sind.

Den Nenner als $2$ schreiben

Der Nenner der Lösungsformel ist $2a$, nicht einfach $2$. Er ist nur dann zufällig gleich $2$, wenn $a=1$ ist.

Das $\pm$ vergessen

Wer das $\pm$ vergisst, übersieht oft eine der beiden Lösungen. Die beiden Lösungen fallen nur dann zu einem einzigen Wert zusammen, wenn $\Delta = 0$ ist.

Ignorieren, ob nach reellen oder komplexen Zahlen gefragt ist

Wenn $\Delta < 0$ ist und die Aufgabe nur reelle Zahlen behandelt, solltest du „keine reellen Lösungen" angeben. Nur wenn komplexe Zahlen erlaubt sind, schreibst du die komplexen Lösungen auf.

Wo tauchen quadratische Gleichungen üblicherweise auf?

Quadratische Gleichungen erscheinen häufig in Aufgaben zu Parabeln, Flächen, Bewegungen und Optimierung (Maximal-/Minimalwerte). Sobald in einem Zusammenhang ein quadratischer Term auftritt, lässt er sich wahrscheinlich auf eine quadratische Gleichung zurückführen.

Aus funktionaler Sicht sind die Lösungen der Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ die Schnittpunkte der quadratischen Funktion $y=ax^2+bx+c$ mit der $x$-Achse. Das ist eine weitere Möglichkeit zu verstehen, warum die Diskriminante wichtig ist: Sie sagt dir, wie oft der Graph die $x$-Achse schneidet.

Empfohlene Vorgehensweise

Bei einer quadratischen Gleichung ist diese Reihenfolge meist am sichersten:

1. Bringe sie zuerst in die Form $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Bestimme $a$, $b$ und $c$.
3. Berechne zuerst $\Delta = b^2 - 4ac$, um die Art der Lösungen zu bestimmen.
4. Entscheide dann, ob du faktorisieren, quadratisch ergänzen oder die Lösungsformel verwenden willst.

Dieses Vorgehen ist weniger fehleranfällig, als sofort mechanisch Zahlen in die Formel einzusetzen.

Probier es selbst

Versuche zu lösen:

$2x^2 + x - 3 = 0$

Bevor du dich auf die Berechnung der Lösungen stürzt, bestimme, ob die Diskriminante positiv, null oder negativ ist, und verwende dann die Lösungsformel. So verstehst du besser, wie diese beiden Werkzeuge zusammenwirken: „Die Diskriminante entscheidet, die Formel rechnet."

Wenn du mehr üben möchtest, probiere eine weitere quadratische Gleichung aus, die sich faktorisieren lässt, und vergleiche, wann das Faktorisieren effizienter ist als die Lösungsformel.