Δευτεροβάθμιες Εξισώσεις — Ο Τύπος της Δευτεροβάθμιας και η Διακρίνουσα

Στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις υπάρχουν δύο βασικά σημεία που εξετάζονται συχνά: πρώτον, η χρήση της διακρίνουσας για τον προσδιορισμό της φύσης των ριζών και, στη συνέχεια, η χρήση του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης για τον υπολογισμό των ίδιων των ριζών. Εφόσον μπορείτε να φέρετε την εξίσωση στην κανονική της μορφή, αυτά τα δύο βήματα λύνουν αξιόπιστα τα περισσότερα προβλήματα.

Η κανονική μορφή είναι:

$ax^2 + bx + c = 0$

όπου $a \ne 0$. Ο όρος «δευτεροβάθμια» αναφέρεται στο ότι η μεγαλύτερη δύναμη του αγνώστου είναι $2$. Αν $a=0$, η εξίσωση παύει να είναι δευτεροβάθμια.

Αν θέλετε πρώτα να συγκρατήσετε τα βασικά, αρκεί να θυμάστε αυτούς τους δύο τύπους:

$\Delta = b^2 - 4ac$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ο πρώτος σάς λέει «τι είδους ρίζες θα έχετε» και ο δεύτερος «ποιες ακριβώς είναι αυτές οι ρίζες».

Τι είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση;

Εφόσον η εξίσωση είναι απλοποιημένη και η μεγαλύτερη δύναμη του αγνώστου είναι $2$, πρόκειται για δευτεροβάθμια εξίσωση. Για παράδειγμα:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

και

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

είναι και οι δύο δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Αναγκαία προϋπόθεση είναι το $a$ να μην ισούται με $0$. Αυτή η προϋπόθεση εξασφαλίζει ότι ο όρος $x^2$ πράγματι υπάρχει στην έκφραση.

Χρήση της διακρίνουσας για τον προσδιορισμό των πραγματικών ριζών

Για την εξίσωση:

$ax^2 + bx + c = 0$

η διακρίνουσα ορίζεται ως:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Η διακρίνουσα δεν είναι από μόνη της ρίζα, αλλά σας λέει γρήγορα τι να περιμένετε:

1. Αν $\Delta > 0$, υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
2. Αν $\Delta = 0$, υπάρχει μία διπλή ρίζα (δηλαδή οι δύο ρίζες ταυτίζονται).
3. Αν $\Delta < 0$, δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. Αν το πρόβλημα επιτρέπει μιγαδικούς αριθμούς, θα προκύψει ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών.

Επομένως, ο σκοπός της διακρίνουσας δεν είναι να «κάνει τις πράξεις για εσάς», αλλά να σας δώσει μια πρόγευση του πώς θα μοιάζει η απάντηση.

Πώς χρησιμοποιείται ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Μόλις η εξίσωση γραφτεί στην κανονική μορφή, μπορείτε να εφαρμόσετε απευθείας τον τύπο:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ισχύει για κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση, με την προϋπόθεση ότι $a \ne 0$. Αν η εξίσωση παραγοντοποιείται εύκολα, η παραγοντοποίηση είναι συνήθως ταχύτερη· αν όμως δεν εντοπίζετε τους παράγοντες, ο τύπος είναι συχνά η πιο αξιόπιστη μέθοδος.

Παράδειγμα: επίλυση εξίσωσης με τη διακρίνουσα και τον τύπο

Λύστε την εξίσωση:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Πρώτα, προσδιορίστε τους συντελεστές:

$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$

Υπολογίστε πρώτα τη διακρίνουσα:

$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

Αφού $\Delta = 12 > 0$, η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

Τώρα αντικαταστήστε στον τύπο:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

Απλοποιήστε το $\sqrt{12}$ σε $2\sqrt{3}$:

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Άρα οι δύο ρίζες είναι:

$x_1 = 2 + \sqrt{3}, \qquad x_2 = 2 - \sqrt{3}$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει δύο πράγματα: η διακρίνουσα πρώτα καθορίζει ότι υπάρχουν «δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες» και ο τύπος στη συνέχεια δίνει τις συγκεκριμένες τιμές αυτών των ριζών.

Συνηθισμένα λάθη

Να μην ξεκινάτε από την κανονική μορφή

Αν η εξίσωση δεν είναι στη μορφή $ax^2 + bx + c = 0$, είναι εύκολο να προσδιορίσετε λάθος τα $a$, $b$ ή $c$. Ο τύπος είναι σωστός, αλλά αν τα δεδομένα εισόδου είναι λανθασμένα, η απάντηση θα είναι λανθασμένη.

Λάθος ανάγνωση του $-b$

Αν $b=-4$, τότε $-b=4$, όχι $-4$. Αυτό το είδος λάθους προσήμου είναι πολύ συχνό και κάνει και τις δύο ρίζες λανθασμένες.

Γράψιμο του παρονομαστή ως $2$

Ο παρονομαστής του τύπου είναι $2a$, όχι ένα σταθερό $2$. Ισούται με $2$ μόνο όταν τυχαίνει $a=1$.

Παράλειψη του $\pm$

Το να ξεχάσετε το $\pm$ συχνά οδηγεί στην απώλεια μίας από τις ρίζες. Οι δύο ρίζες συγχωνεύονται σε μία μόνο τιμή όταν $\Delta = 0$.

Αγνόηση του αν το πρόβλημα ζητά πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς

Όταν $\Delta < 0$ και το πρόβλημα αφορά μόνο πραγματικούς αριθμούς, πρέπει να δηλώσετε «δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες». Γράφετε τις μιγαδικές λύσεις μόνο αν επιτρέπονται οι μιγαδικοί αριθμοί.

Πού εμφανίζονται συνήθως οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις;

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις εμφανίζονται συχνά σε προβλήματα με παραβολές, εμβαδά, κίνηση και βελτιστοποίηση (μέγιστες/ελάχιστες τιμές). Όποτε εμφανίζεται ένας τετραγωνικός όρος σε μια σχέση, είναι πιθανό να μπορεί να αναχθεί σε δευτεροβάθμια εξίσωση.

Από τη σκοπιά των συναρτήσεων, οι ρίζες της εξίσωσης $ax^2 + bx + c = 0$ είναι τα σημεία τομής της τετραγωνικής συνάρτησης $y=ax^2+bx+c$ με τον άξονα $x$. Αυτός είναι ένας ακόμη τρόπος να κατανοήσετε γιατί η διακρίνουσα είναι σημαντική: σας λέει πόσες φορές η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα $x$.

Προτεινόμενη πορεία εργασίας

Όταν συναντάτε μια δευτεροβάθμια εξίσωση, αυτή η σειρά είναι συνήθως η ασφαλέστερη:

1. Πρώτα φέρτε την στη μορφή $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Προσδιορίστε τα $a$, $b$ και $c$.
3. Υπολογίστε πρώτα το $\Delta = b^2 - 4ac$ για να καθορίσετε το είδος των ριζών.
4. Έπειτα αποφασίστε αν θα χρησιμοποιήσετε παραγοντοποίηση, συμπλήρωση τετραγώνου ή τον τύπο.

Αυτή η προσέγγιση είναι λιγότερο επιρρεπής σε λάθη από το να βάζετε αμέσως μηχανικά αριθμούς στον τύπο.

Δοκιμάστε μόνοι σας

Δοκιμάστε να λύσετε:

$2x^2 + x - 3 = 0$

Πριν βιαστείτε να υπολογίσετε τις ρίζες, προσδιορίστε αν η διακρίνουσα είναι θετική, μηδέν ή αρνητική, και έπειτα χρησιμοποιήστε τον τύπο. Αυτό θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα πώς συνεργάζονται αυτά τα δύο εργαλεία: «η διακρίνουσα αποφασίζει, ο τύπος υπολογίζει».

Αν θέλετε περισσότερη εξάσκηση, δοκιμάστε μια ακόμη δευτεροβάθμια εξίσωση που παραγοντοποιείται και συγκρίνετε πότε η παραγοντοποίηση είναι αποδοτικότερη από τον τύπο.