Garis Sejajar dan Tegak Lurus — Gradien & Contoh

Garis sejajar tidak pernah berpotongan, dan garis tegak lurus berpotongan membentuk sudut siku-siku. Dalam geometri koordinat, gradien adalah cara tercepat untuk mengetahui hubungan kedua garis.

Untuk dua garis yang tidak vertikal, aturannya sederhana: gradien yang sama berarti garis sejajar, dan gradien yang merupakan kebalikan negatif berarti garis tegak lurus. Jika satu garis vertikal dan yang lain horizontal, keduanya juga tegak lurus.

Cara menentukan apakah garis sejajar

Garis sejajar memiliki arah yang sama dan tetap berjarak sama dalam suatu bidang. Pada grafik, kemiringannya sama.

Jika dua garis berbeda yang tidak vertikal memiliki gradien $m_1$ dan $m_2$, maka keduanya sejajar jika

$$m_1 = m_2$$

Kata berbeda itu penting. Jika gradien dan titik potongnya sama, persamaan tersebut mungkin menggambarkan garis yang sama dalam dua bentuk berbeda.

Cara menentukan apakah garis tegak lurus

Garis tegak lurus berpotongan pada sudut $90^\circ$. Jika kedua gradien terdefinisi, syaratnya adalah

$$m_1 m_2 = -1$$

Ini sama saja dengan mengatakan bahwa gradiennya merupakan kebalikan negatif.

Misalnya, jika satu gradien adalah $2$, maka gradien garis yang tegak lurus adalah $-\frac{1}{2}$. Jika satu gradien adalah $-\frac{3}{4}$, maka gradien tegak lurusnya adalah $\frac{4}{3}$.

Aturan ini hanya berlaku jika kedua gradien ada sebagai bilangan. Garis vertikal memiliki gradien yang tidak terdefinisi, sehingga pasangan tegak lurusnya adalah garis horizontal dengan gradien $0$.

Contoh soal: klasifikasikan dua garis dari persamaannya

Tentukan apakah garis-garis berikut sejajar, tegak lurus, atau bukan keduanya:

$$2x - y = 3$$ $$x + 2y = 8$$

Pertama, ubah setiap persamaan agar gradiennya mudah dibaca.

Dari $2x - y = 3$, selesaikan untuk $y$:

$$y = 2x - 3$$

Jadi gradien pertama adalah $2$.

Dari $x + 2y = 8$, selesaikan untuk $y$:

$$2y = -x + 8$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 4$$

Jadi gradien kedua adalah $-\frac{1}{2}$.

Sekarang bandingkan keduanya. Kebalikan negatif dari $2$ adalah $-\frac{1}{2}$, jadi kedua garis tersebut tegak lurus. Kamu juga bisa memeriksanya dengan aturan hasil kali:

$$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$

Itu langsung memberi tahu sesuatu secara geometri: saat kedua garis ini berpotongan, mereka membentuk sudut siku-siku.

Cara cepat memeriksa pasangan garis apa pun

Saat sebuah soal memberi dua persamaan, gunakan urutan ini:

1. Ubah setiap garis agar gradiennya mudah dibaca.
2. Bandingkan gradiennya.
3. Jika gradiennya sama, periksa apakah garis-garis itu berbeda sebelum menyebutnya sejajar.
4. Jika gradiennya merupakan kebalikan negatif, sebut garis-garis itu tegak lurus.
5. Jika tidak memenuhi kedua syarat tersebut, maka garis-garis itu bukan sejajar maupun tegak lurus.

Cara ini mencegahmu tertukar antara gradien yang sama, gradien berlawanan, dan gradien kebalikan negatif.

Kesalahan umum tentang gradien

Salah satu kesalahan umum adalah mengatakan bahwa garis tegak lurus memiliki gradien yang berlawanan. Itu belum cukup. Gradien $2$ dan $-2$ memang berlawanan, tetapi bukan kebalikan negatif, jadi garis-garis itu tidak tegak lurus.

Kesalahan lain adalah melupakan kasus khusus garis vertikal dan horizontal. Garis vertikal memiliki gradien yang tidak terdefinisi, jadi kamu tidak bisa mengujinya dengan mengalikan gradien untuk mendapatkan $-1$.

Siswa juga kadang menyebut dua garis sejajar hanya karena gradiennya sama. Jika titik potongnya juga sama, persamaan itu menggambarkan garis yang sama, bukan dua garis sejajar yang berbeda.

Di mana garis sejajar dan tegak lurus digunakan

Garis sejajar dan tegak lurus muncul dalam menggambar grafik, geometri analitik, pembuktian koordinat, dan soal persamaan garis. Keduanya juga berguna dalam desain dan teknik, ketika arah dan sudut siku-siku penting.

Inti praktisnya adalah bahwa gradien mengubah gagasan visual menjadi uji numerik yang cepat.

Coba soal serupa

Coba versimu sendiri dengan garis $y = -3x + 2$ dan $y = -3x - 5$. Baca gradiennya terlebih dahulu, tentukan apakah garis-garis itu sejajar, tegak lurus, atau bukan keduanya, lalu periksa apakah titik potongnya mengubah jawabanmu.

Jika kamu ingin satu kasus lagi setelah itu, pelajari Slope Formula lalu klasifikasikan sepasang garis dari dua titik, bukan dari persamaan.