인수정리 — 다항식을 인수분해하는 방법

인수정리는 다항식 $P(x)$에 대해 $P(a)=0$일 때 그리고 그럴 때에만 일차인수 $(x-a)$가 성립한다고 말합니다. 그래서 추측한 근이 실제로 다항식을 인수분해하는 데 도움이 되는지 빠르게 확인하는 가장 좋은 방법 중 하나입니다.

$$P(a)=0 \iff (x-a) \text{ is a factor of } P(x).$$

추측할 때마다 전체 나눗셈을 할 필요 없이, 값 하나만 대입하면 됩니다. 결과가 0이면 근 $a$를 찾은 것이고, 동시에 대응하는 일차인수 $(x-a)$도 찾은 것입니다.

인수정리가 의미하는 것

$(x-a)$가 인수라면, 그 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$P(x)=(x-a)Q(x)$$

어떤 다항식 $Q(x)$에 대해 이제 $x=a$를 대입하면,

$$P(a)=(a-a)Q(a)=0.$$

즉, 인수가 있으면 0이 만들어집니다. 반대 방향도 똑같이 중요합니다. $a$를 대입했을 때 0이 나오면, $(x-a)$로 나누었을 때 나머지가 $0$이므로 $(x-a)$는 실제로 인수입니다.

이것이 인수정리가 근과 인수를 연결하는 이유입니다. $P(a)=0$이면 $a$는 그 다항식의 근이고, $(x-a)$는 그에 대응하는 일차인수입니다.

인수정리로 다항식을 인수분해하는 방법

인수정리는 처음에 어떤 $a$를 시도해야 하는지 알려주지는 않습니다. 대신 후보를 하나 정했을 때 그것이 맞는지 검사하는 방법을 알려줍니다.

학교 수학 문제에서는 보통 상수항의 약수에서 적절한 정수 후보를 찾습니다. 최고차항의 계수가 1인 다항식이라면 $\pm 1$, $\pm 2$처럼 상수항의 약수들을 먼저 확인해 볼 만한 경우가 많습니다. 이것은 전략이지, 항상 맞는 보장은 아닙니다.

보통의 과정은 짧습니다.

1. 후보 값 $a$를 하나 고릅니다.
2. $P(a)$를 계산합니다.
3. $P(a)=0$이면 $(x-a)$를 인수로 적습니다.
4. 다항식을 $(x-a)$로 나누고, 가능하면 계속 인수분해합니다.

풀이 예제: 삼차식을 인수분해하기

다음을 인수분해해 봅시다.

$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6.$$

가장 자연스러운 첫 번째 확인은 $x=1$입니다.

$$P(1)=1-6+11-6=0.$$

$P(1)=0$이므로, 인수정리에 따라 $(x-1)$은 인수입니다. 이제 $(x-1)$로 나누어 몫을 구하면,

$$x^2-5x+6.$$

따라서

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6).$$

이 이차식은 더 인수분해됩니다.

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

그래서 전체 인수분해는 다음과 같습니다.

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).$$

핵심은 마법 같은 요령이 아닙니다. 값 하나를 시험해 0을 찾고, 그 0을 인수로 바꾼 뒤, 나머지는 보통의 인수분해로 마무리한 것입니다.

인수정리에서 자주 하는 실수

부호를 혼동하기

$P(2)=0$이면 인수는 $(x+2)$가 아니라 $(x-2)$입니다.

인수정리는 $(x-a)$ 꼴에 맞추므로, 인수 안의 부호는 값 $a$의 부호와 반대가 됩니다.

너무 일찍 멈추기

인수 하나를 찾는 것은 보통 첫 단계일 뿐입니다. $(x-a)$를 얻은 뒤에는 다항식을 나누고, 가능하면 몫도 인수분해해야 합니다.

모든 다항식이 쉬운 정수 대입으로 풀린다고 생각하기

작은 정수를 대입해 보는 방법은 문제의 구조가 그럴 때만 유용합니다. 어떤 다항식은 간단한 정수근이 아니라 유리수근, 무리수근, 복소수근을 가질 수도 있습니다.

적용 조건을 잊기

인수정리는 다항식에 적용됩니다. 모든 대수식에 통하는 일반적인 지름길은 아닙니다.

인수정리가 유용한 경우

인수정리는 특히 다음이 필요할 때 유용합니다.

• 추측한 근이 실제로 맞는지 확인할 때
• 다항식을 단계적으로 인수분해할 때
• 영점과 일차인수를 연결할 때
• 조립제법을 더 효율적으로 시작할 때

인수정리는 나머지정리와 조립제법과 함께 자주 쓰입니다. 실제로 $(x-a)$로 나눌 때 나머지는 $P(a)$입니다. 인수정리는 그 나머지가 $0$인 특별한 경우라고 볼 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음 식에도 같은 과정을 적용해 보세요.

$$x^3-4x^2-x+4.$$

먼저 간단한 후보 값을 시험하고, 인수정리로 일차인수를 확인한 다음, 나눗셈으로 인수분해를 마무리해 보세요. 마지막으로 구한 인수들을 다시 전개해 원래 다항식이 나오는지 빠르게 확인해 보세요.