因数定理 — 多項式の因数分解のやり方

因数定理とは、多項式 $P(x)$ に対して、$P(a)=0$ のときに限り一次式 $(x-a)$ が因数になる、という定理です。推測した解が本当に多項式の因数分解に役立つかを、すばやく確かめる方法のひとつです。

$$P(a)=0 \iff (x-a) \text{ is a factor of } P(x).$$

候補ごとに毎回わり算をする代わりに、1つの値を代入して調べます。結果が 0 なら、根 $a$ が見つかっただけでなく、それに対応する一次因数 $(x-a)$ も見つかったことになります。

因数定理の意味

$(x-a)$ が因数であるなら、多項式は

$$P(x)=(x-a)Q(x)$$

と書けます。ここで $Q(x)$ はある多項式です。ここで $x=a$ を代入すると、

$$P(a)=(a-a)Q(a)=0.$$

となります。つまり、因数があれば 0 が生まれます。逆向きも同じくらい重要です。$a$ を代入して 0 になるなら、$(x-a)$ で割った余りは $0$ なので、$(x-a)$ は本当に因数です。

このように、因数定理は根と因数を結びつけます。$P(a)=0$ なら、$a$ はその多項式の根であり、$(x-a)$ はそれに対応する一次因数です。

因数定理を使って多項式を因数分解する方法

この定理は、最初にどの $a$ を試せばよいかまでは教えてくれません。わかるのは、候補があるときにそれをどう判定するかです。

学校の問題では、定数項の約数から整数の候補を考えることがよくあります。最高次の係数が 1 の多項式なら、$\pm 1$、$\pm 2$ など、定数項の約数をまず試すのが自然です。ただし、これはあくまで方針であって、必ず当たるとは限りません。

基本的な流れは短くまとまります。

1. 候補の値 $a$ を選ぶ。
2. $P(a)$ を計算する。
3. $P(a)=0$ なら、$(x-a)$ を因数として書く。
4. 多項式を $(x-a)$ で割り、可能ならさらに因数分解を続ける。

例題：3次式を因数分解する

次を因数分解します。

$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6.$$

まずは $x=1$ を試すのが自然です。

$$P(1)=1-6+11-6=0.$$

$P(1)=0$ なので、因数定理より $(x-1)$ は因数です。次に $(x-1)$ で割ると、商は

$$x^2-5x+6.$$

となります。したがって、

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6).$$

さらに、この2次式は

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

と因数分解できます。よって、完全な因数分解は

$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3).$$

です。大事なのは、特別なひらめきが必要だったわけではないことです。1つの値を試し、0 になることを確かめ、その 0 を因数に変え、最後は普通の因数分解で仕上げました。

因数定理でよくあるミス

符号を取り違える

$P(2)=0$ なら、因数は $(x+2)$ ではなく $(x-2)$ です。

因数定理では形が $(x-a)$ なので、因数の中の符号は値 $a$ の符号と逆になります。

途中で止めてしまう

1つ因数が見つかっても、それで終わりとは限りません。$(x-a)$ を見つけたら、多項式を割って、可能なら商もさらに因数分解します。

どの多項式でも簡単な整数で試せると思い込む

小さな整数を試す方法が有効なのは、問題の形がそれを後押ししているときです。多項式によっては、整数ではなく、有理数・無理数・複素数の根をもつこともあります。

条件を忘れる

因数定理が使えるのは多項式に対してです。あらゆる代数式にそのまま使える一般的な近道ではありません。

因数定理が役立つ場面

因数定理は、特に次のようなときに役立ちます。

• 推測した根が本当に成り立つかを確かめたいとき
• 多項式を段階的に因数分解したいとき
• 0 と一次因数の関係を結びつけたいとき
• 組立除法をより効率よく始めたいとき

因数定理は、剰余の定理や組立除法とあわせて使われることがよくあります。実際、$(x-a)$ で割ったときの余りは $P(a)$ です。因数定理は、その余りが $0$ になる特別な場合だといえます。

似た問題に挑戦してみよう

次の式でも同じ手順を試してみましょう。

$$x^3-4x^2-x+4.$$

まずは簡単な候補の値を試し、因数定理で一次因数を確認してから、わり算で因数分解を仕上げてみてください。最後に、求めた因数を展開して、元の多項式に戻ることも確かめましょう。