Limiti — definizione, regole e come calcolarli

In analisi, un limite è il valore a cui una funzione si avvicina quando l'input si avvicina a un punto. Si usano i limiti quando la sostituzione diretta non è utile, soprattutto vicino a buchi, salti o espressioni che producono $0/0$.

In simboli,

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

significa che quando $x$ si avvicina ad $a$, i valori di $f(x)$ si avvicinano a $L$.

Il punto chiave è che un limite riguarda il comportamento nelle vicinanze, non solo il valore esatto in $x=a$. La funzione potrebbe avere lì un valore diverso, oppure non essere definita, e il limite potrebbe comunque esistere.

Definizione di limite: avvicinarsi, non arrivare

La parola "limite" riguarda l'avvicinarsi, non l'arrivare. Se

$$\lim_{x \to 2} f(x) = 5$$

questo non significa automaticamente che $f(2) = 5$. Significa che $f(x)$ si avvicina a $5$ quando $x$ si avvicina a $2$ da entrambi i lati.

Per questo i limiti sono importanti per le funzioni definite a tratti, le espressioni razionali e i grafici con buchi. Ti permettono di descrivere cosa sta facendo la funzione vicino a un punto anche quando il punto stesso è problematico.

Regole dei limiti che puoi usare in sicurezza

Quando esistono i limiti più semplici, puoi combinarli per calcolare limiti più complicati.

Se

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a} g(x) = M,$$

allora:

$$\lim_{x \to a} \left(f(x) + g(x)\right) = L + M$$ $$\lim_{x \to a} \left(c f(x)\right) = cL$$ $$\lim_{x \to a} \left(f(x)g(x)\right) = LM$$ $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \qquad \text{if } M \ne 0$$

La condizione $M \ne 0$ è importante. Se il limite del denominatore è $0$, la regola del quoziente non giustifica il passaggio.

Per i polinomi e molte funzioni familiari, la sostituzione diretta funziona perché la funzione è continua nel punto che stai controllando.

Come calcolare un limite di base

La maggior parte dei problemi di limiti di base segue lo stesso ordine:

1. Prova la sostituzione diretta.
2. Se ottieni un normale numero reale, quello è il limite.
3. Se ottieni una forma indeterminata come $0/0$, semplifica prima.
4. Se l'espressione può comportarsi in modo diverso sui due lati, confronta i limiti unilateri.

La notazione unilatera è questa:

$$\lim_{x \to a^-} f(x) \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)$$

Il limite completo esiste solo quando entrambi i limiti unilateri esistono e sono uguali.

Esempio svolto: un limite con $0/0$

Calcola

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

La sostituzione diretta dà

$$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$

Questa non è la risposta. Ti dice solo che la sostituzione diretta non ha concluso il problema.

Scomponi il numeratore:

$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

Per $x \ne 1$,

$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$$

Ora il limite è più semplice:

$$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$$

Quindi

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

La funzione originale non è definita in $x = 1$, ma il limite esiste comunque perché i valori vicini si avvicinano a $2$. Questo è il modello standard di una discontinuità eliminabile.

Errori comuni nel calcolo dei limiti

1. Trattare $0/0$ come un valore finale. È un segnale di avvertimento, non una soluzione.
2. Supporre che il limite debba essere uguale a $f(a)$. Questo accade solo quando la funzione è continua in $a$.
3. Usare la regola del quoziente quando il limite del denominatore è $0$. In quel caso la condizione della regola non è soddisfatta.
4. Ignorare il comportamento a sinistra e a destra. Se i due lati si avvicinano a valori diversi, il limite non esiste.
5. Semplificare fattori senza indicare la condizione. Nell'esempio svolto, semplificare $x-1$ è valido solo per $x \ne 1$, e questo basta per il limite perché i limiti usano punti vicini.

Dove si usano i limiti in analisi

I limiti sono il punto di partenza di diverse idee fondamentali dell'analisi. Si usano per

1. definire le derivate,
2. descrivere la continuità,
3. analizzare il comportamento vicino agli asintoti o agli estremi dell'intervallo, e
4. giustificare semplificazioni vicino a punti in cui una formula non è definita direttamente.

Se poi passi a derivate, integrali o successioni e serie infinite, i limiti fanno parte del linguaggio alla base di tutti questi argomenti.

Un rapido controllo prima di andare avanti

Dopo aver risolto un limite, fatti una domanda: i valori vicini vanno davvero verso la tua risposta da entrambi i lati?

Questo rapido controllo intercetta molti errori, soprattutto nelle funzioni definite a tratti e nelle espressioni razionali.

Prova un limite simile

Prova

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Usa lo stesso schema: sostituisci, nota il $0/0$, scomponi, semplifica e sostituisci di nuovo. Se vuoi fare un passo in più, prova una tua versione con una funzione definita a tratti e controlla se il limite sinistro e quello destro coincidono.