Théorème de superposition — Circuits

Le théorème de superposition en circuits permet de trouver une tension ou un courant dans un circuit linéaire comportant plusieurs sources indépendantes en traitant une source à la fois puis en additionnant les résultats algébriques. Si vous cherchez comment fonctionne la superposition, la règle essentielle est simple : désactivez correctement les autres sources indépendantes, calculez la réponse partielle, puis additionnez les contributions.

Cela ne fonctionne que si le modèle du circuit est linéaire. Dans les exercices d’introduction, cela signifie généralement des résistances et des modèles de sources linéaires, et non un comportement non linéaire des composants.

Ce que dit le théorème de superposition

Supposons qu’un circuit comporte plusieurs sources indépendantes et que vous vouliez le courant dans une résistance ou la tension aux bornes d’une branche. Au lieu de résoudre tout le circuit en une seule fois, vous pouvez :

1. garder une seule source indépendante active
2. désactiver les autres sources indépendantes
3. calculer la contribution de cette source
4. répéter pour les sources restantes
5. additionner les résultats algébriques

Le résultat est la même tension totale ou le même courant total que si vous résolviez tout le circuit linéaire d’un seul coup.

Comment désactiver correctement les sources

C’est l’étape qui provoque le plus d’erreurs.

Pour les sources de tension idéales, on met la source à zéro volt. Dans le modèle du circuit, cela signifie remplacer la source par un court-circuit.

Pour les sources de courant idéales, on met la source à zéro courant. Dans le modèle du circuit, cela signifie remplacer la source par un circuit ouvert.

Si le circuit contient une source dépendante, ne la désactivez pas simplement parce que vous utilisez la superposition. Les sources dépendantes restent actives, car leur valeur dépend de variables du circuit.

Exemple résolu : deux sources de tension opposées dans une même boucle

Considérons une seule boucle avec deux résistances en série, $R_1 = 2\ \Omega$ et $R_2 = 4\ \Omega$. La même boucle contient aussi deux sources de tension idéales : $V_1 = 12\ \mathrm{V}$ et $V_2 = 6\ \mathrm{V}$. Supposons que les sources s’opposent et définissons le courant horaire comme positif.

La résistance totale vaut

$$R_{total} = 2 + 4 = 6\ \Omega$$

Résolvons maintenant la même boucle une source à la fois.

Contribution de $V_1$ seul

Désactivez $V_2$. Comme il s’agit d’une source de tension idéale, remplacez-la par un court-circuit.

Le courant de boucle causé par $V_1$ est alors

$$I_1 = \frac{12}{6} = 2\ \mathrm{A}$$

Cette contribution est positive, car elle fait circuler le courant dans le sens horaire choisi. Le résultat partiel est donc $+2\ \mathrm{A}$.

Contribution de $V_2$ seul

Désactivez $V_1$ en le remplaçant par un court-circuit.

Maintenant, $V_2$ seul fait circuler un courant à travers la même résistance totale de $6\ \Omega$ :

$$I_2 = \frac{6}{6} = 1\ \mathrm{A}$$

Mais cette source pousse le courant dans le sens opposé à la direction positive choisie, donc il faut conserver le signe :

$$I_2 = -1\ \mathrm{A}$$

Additionner les courants algébriques

Le courant total dans la boucle est

$$I = I_1 + I_2 = 2 + (-1) = 1\ \mathrm{A}$$

C’est toute l’idée de la superposition. Chaque source crée une partie de la réponse, et le courant total est la somme algébrique de ces parties.

Pourquoi la superposition aide en analyse des circuits

La superposition est utile lorsqu’un circuit comporte plusieurs sources indépendantes et que vous voulez voir séparément l’effet de chacune. Elle rend souvent un circuit compliqué plus facile à organiser et donne une intuition physique au lieu de produire seulement un résultat final.

Elle est particulièrement utile en analyse de réseaux d’introduction, dans les modèles linéaires en petit signal et dans tout circuit linéaire où il est intéressant de comparer les effets des différentes sources.

Erreurs fréquentes dans les problèmes de superposition

L’utiliser dans un circuit non linéaire

Si le modèle du circuit n’est pas linéaire, le théorème ne s’applique pas sous cette forme simple. Des composants comme les diodes ou les transistors en régime non linéaire peuvent invalider la logique d’addition des réponses.

Désactiver les sources dépendantes

Seules les sources indépendantes sont désactivées une à une. Les sources dépendantes restent dans le circuit.

Additionner directement les contributions de puissance

La superposition s’applique directement aux tensions et aux courants. La puissance dépend de produits comme $P = VI$ ou $P = I^2R$, donc il faut d’abord trouver la tension totale ou le courant total, puis calculer la puissance à partir de ce résultat global.

Perdre la convention de signe

Chaque contribution partielle doit conserver son signe. Si une source fait circuler le courant dans le sens opposé à votre direction positive choisie, sa contribution est négative.

Quand le théorème de superposition est utilisé

Le théorème de superposition est utilisé en analyse des circuits linéaires en courant continu et en courant alternatif, surtout lorsqu’un circuit contient plusieurs sources et que l’on cherche le courant ou la tension d’une branche. En régime AC, la même idée s’applique encore si le circuit est analysé dans un modèle linéaire en phaseurs.

Il est moins utile lorsqu’une équation directe est plus rapide. Il devient précieux lorsqu’un raisonnement source par source rend le circuit plus facile à comprendre ou à vérifier.

Essayez un circuit similaire

Modifiez l’exemple en prenant $V_2 = 9\ \mathrm{V}$ au lieu de $6\ \mathrm{V}$ et gardez les mêmes valeurs de résistance. Calculez d’abord les deux courants avec une seule source active, puis additionnez les résultats algébriques. Si vous voulez une vérification rapide après l’avoir résolu vous-même, comparez vos étapes avec le même circuit dans GPAI Solver.