Twierdzenie o superpozycji — obwody elektryczne

Twierdzenie o superpozycji w obwodach pozwala wyznaczyć jedno napięcie lub prąd w obwodzie liniowym z wieloma źródłami niezależnymi, rozwiązując układ dla jednego źródła naraz i sumując wyniki z uwzględnieniem znaków. Jeśli szukasz, jak działa superpozycja, najważniejsza zasada jest prosta: poprawnie wyłącz pozostałe źródła niezależne, oblicz odpowiedź cząstkową, a potem zsumuj wkłady.

To działa tylko wtedy, gdy model obwodu jest liniowy. W typowych zadaniach wprowadzających zwykle oznacza to rezystory i liniowe modele źródeł, a nie nieliniowe zachowanie elementów.

Co mówi twierdzenie o superpozycji

Załóżmy, że obwód ma kilka źródeł niezależnych, a Ty chcesz znaleźć prąd płynący przez jeden rezystor albo napięcie na jednej gałęzi. Zamiast rozwiązywać cały obwód w jednym kroku, możesz:

1. pozostawić aktywne jedno źródło niezależne
2. wyłączyć pozostałe źródła niezależne
3. obliczyć wkład od tego źródła
4. powtórzyć to dla pozostałych źródeł
5. dodać wyniki z uwzględnieniem znaków

Wynik będzie taki sam jak całkowite napięcie lub prąd otrzymane przy jednoczesnym rozwiązaniu całego liniowego obwodu.

Jak poprawnie wyłączać źródła

To właśnie ten krok powoduje najwięcej błędów.

Dla idealnych źródeł napięcia ustaw źródło na zero woltów. W modelu obwodu oznacza to zastąpienie źródła zwarciem.

Dla idealnych źródeł prądu ustaw źródło na zero amperów. W modelu obwodu oznacza to zastąpienie źródła przerwą w obwodzie.

Jeśli obwód zawiera źródło zależne, nie wyłączaj go tylko dlatego, że stosujesz superpozycję. Źródła zależne pozostają aktywne, ponieważ ich wartości są powiązane ze zmiennymi obwodu.

Przykład rozwiązany: dwa przeciwne źródła napięcia w jednej pętli

Rozważ jedną pętlę z dwoma rezystorami połączonymi szeregowo, $R_1 = 2\ \Omega$ oraz $R_2 = 4\ \Omega$. Ta sama pętla zawiera także dwa idealne źródła napięcia: $V_1 = 12\ \mathrm{V}$ oraz $V_2 = 6\ \mathrm{V}$. Załóż, że źródła działają przeciwnie do siebie, a dodatni kierunek prądu przyjmij zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Całkowita rezystancja wynosi

$$R_{total} = 2 + 4 = 6\ \Omega$$

Teraz rozwiąż tę samą pętlę, biorąc pod uwagę jedno źródło naraz.

Wkład od samego $V_1$

Wyłącz $V_2$. Ponieważ jest to idealne źródło napięcia, zastąp je zwarciem.

Wtedy prąd w pętli wywołany przez $V_1$ wynosi

$$I_1 = \frac{12}{6} = 2\ \mathrm{A}$$

Ten wkład jest dodatni, ponieważ wymusza prąd w wybranym dodatnim kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Zatem wynik cząstkowy to $+2\ \mathrm{A}$.

Wkład od samego $V_2$

Wyłącz $V_1$, zastępując je zwarciem.

Teraz samo $V_2$ wymusza prąd przez tę samą całkowitą rezystancję $6\ \Omega$:

$$I_2 = \frac{6}{6} = 1\ \mathrm{A}$$

Ale to źródło wymusza prąd przeciwny do przyjętego dodatniego kierunku, więc musisz zachować znak:

$$I_2 = -1\ \mathrm{A}$$

Dodaj prądy z uwzględnieniem znaków

Całkowity prąd w pętli wynosi

$$I = I_1 + I_2 = 2 + (-1) = 1\ \mathrm{A}$$

Na tym polega cała idea superpozycji. Każde źródło tworzy część odpowiedzi, a całkowity prąd jest algebraiczną sumą tych części.

Dlaczego superpozycja pomaga w analizie obwodów

Superpozycja jest przydatna, gdy obwód ma kilka źródeł niezależnych i chcesz zobaczyć osobno wpływ każdego z nich. Często sprawia, że złożony obwód staje się łatwiejszy do uporządkowania, a przy tym daje fizyczną intuicję zamiast tylko jednej końcowej liczby.

Jest szczególnie użyteczna we wstępnej analizie obwodów, w liniowych modelach małosygnałowych oraz w każdym liniowym obwodzie, w którym warto porównać oddzielne efekty działania źródeł.

Typowe błędy w zadaniach z superpozycji

Stosowanie jej w obwodzie nieliniowym

Jeśli model obwodu nie jest liniowy, twierdzenie nie ma zastosowania w tej prostej postaci. Elementy takie jak diody lub tranzystory pracujące w warunkach nieliniowych mogą zaburzyć logikę sumowania odpowiedzi.

Wyłączanie źródeł zależnych

Wyłącza się tylko źródła niezależne, jedno po drugim. Źródła zależne pozostają w obwodzie.

Bezpośrednie dodawanie wkładów mocy

Superpozycja odnosi się bezpośrednio do napięć i prądów. Moc zależy od iloczynów takich jak $P = VI$ lub $P = I^2R$, dlatego najpierw należy wyznaczyć całkowite napięcie lub prąd, a dopiero potem obliczyć moc z tego całkowitego wyniku.

Gubienie przyjętej konwencji znaków

Każdy wkład cząstkowy musi zachować swój znak. Jeśli jedno źródło wymusza prąd przeciwny do przyjętego dodatniego kierunku, jego wkład jest ujemny.

Kiedy stosuje się twierdzenie o superpozycji

Twierdzenie o superpozycji stosuje się w liniowej analizie obwodów prądu stałego i przemiennego, szczególnie wtedy, gdy obwód zawiera wiele źródeł, a celem jest wyznaczenie prądu lub napięcia w jednej gałęzi. W analizie AC ta sama idea nadal obowiązuje, jeśli obwód jest analizowany w liniowym modelu fazorowym.

Jest mniej przydatne wtedy, gdy szybsze jest zapisanie jednego bezpośredniego równania. Zyskuje na wartości, gdy rozumowanie źródło po źródle ułatwia zrozumienie lub sprawdzenie obwodu.

Spróbuj podobnego obwodu

Zmień przykład tak, aby $V_2 = 9\ \mathrm{V}$ zamiast $6\ \mathrm{V}$, i pozostaw te same wartości rezystorów. Najpierw oblicz dwa prądy dla pojedynczych źródeł, a potem dodaj wyniki z uwzględnieniem znaków. Jeśli chcesz szybko sprawdzić swoje rozwiązanie po samodzielnych obliczeniach, porównaj kolejne kroki z tym samym obwodem w GPAI Solver.