Loi des mailles de Kirchhoff (KVL)

La loi des mailles de Kirchhoff, ou KVL, affirme que la variation totale de tension autour de toute boucle fermée d’un circuit est nulle, tant que le circuit est traité avec le modèle usuel des circuits à constantes localisées.

$$\sum \Delta V = 0$$

En termes simples, si vous parcourez la boucle et revenez à votre point de départ, les hausses et les chutes de tension doivent se compenser. Une pile peut augmenter le potentiel électrique, tandis que les résistances le font diminuer, mais la variation nette sur l’ensemble de la boucle reste nulle.

Ce que signifie la loi des mailles de Kirchhoff

La tension est une différence de potentiel électrique. Revenir au même point signifie revenir au même potentiel, donc la somme algébrique de toutes les variations le long du parcours doit être nulle.

C’est pour cela qu’une boucle avec une pile et une résistance fonctionne de manière si nette. La source fournit de l’énergie par unité de charge, et les composants de la boucle rendent compte de l’endroit où cette énergie est dissipée.

Quand vous pouvez utiliser la KVL sans risque

Pour la plupart des problèmes d’introduction aux circuits, la KVL fonctionne exactement comme on l’enseigne : piles idéales, résistances et autres éléments disposés comme un circuit à constantes localisées.

Cette condition est importante. Si un flux magnétique variable traverse la boucle, la forme simple $\\sum \Delta V = 0$ doit être modifiée ou utilisée avec précaution. La KVL est donc fiable pour l’analyse ordinaire des circuits, mais il ne faut pas l’appliquer aveuglément à toute situation électromagnétique.

Exemple résolu avec une pile et deux résistances

Supposons qu’une boucle contienne une pile de $9\\ \\mathrm{V}$, une résistance de $3\\ \\Omega$ et une résistance de $6\\ \\Omega$, toutes en série. Notons le courant $I$.

Parcourez la boucle dans le sens du courant. Traverser la pile de la borne négative vers la borne positive donne une hausse de $+9$. Traverser les résistances donne des chutes de $-3I$ et $-6I$.

L’équation de la boucle est

$$9 - 3I - 6I = 0$$

Regroupons les termes semblables :

$$9 - 9I = 0$$

Résolvons pour $I$ :

$$I = 1\\ \\mathrm{A}$$

Vérifions maintenant le résultat. Les chutes de tension aux bornes des résistances sont

$$V_1 = 3I = 3\\ \\mathrm{V}$$

et

$$V_2 = 6I = 6\\ \\mathrm{V}$$

Ensemble, elles donnent $3 + 6 = 9\\ \\mathrm{V}$, ce qui correspond à la tension de la pile. C’est exactement ce que prédit la KVL : la hausse totale est égale à la chute totale.

Une convention de signe qui évite les erreurs

La plupart des erreurs en KVL viennent de signes incohérents, pas d’une algèbre difficile.

Choisissez d’abord un sens de parcours de la boucle. Ensuite, gardez la même règle de signe tout au long. Par exemple, vous pouvez considérer qu’un passage d’un potentiel plus faible à un potentiel plus élevé est positif, et qu’un passage d’un potentiel plus élevé à un potentiel plus faible est négatif. Toute convention cohérente convient.

Si votre réponse est négative, cela signifie généralement que le sens réel du courant est opposé à celui que vous aviez supposé. Cela ne veut pas automatiquement dire que le calcul est faux.

Erreurs courantes en KVL

• Changer de convention de signe au milieu de l’équation de boucle.
• Écrire seulement la tension de la source et oublier l’une des chutes de tension des composants.
• Utiliser la KVL sans une loi de composant comme $V = IR$ lorsqu’un courant ou une tension inconnue nécessite encore une deuxième relation.
• Supposer que la règle simple de la boucle s’applique sans changement même lorsqu’un flux magnétique variable fait partie du montage.

Où la loi des mailles de Kirchhoff est utilisée

La KVL est utilisée dans l’analyse par mailles, les réseaux de résistances, les circuits RC et de nombreux problèmes courants de circuits en courant continu et à basse fréquence. Elle devient particulièrement utile dès qu’un circuit est trop complexe pour une formule directe unique.

Même lorsque le circuit est résolu par un logiciel, les équations sous-jacentes reposent toujours sur la même idée de conservation.

Essayez une boucle similaire

Essayez votre propre version en remplaçant la pile par une source de $12\\ \\mathrm{V}$ tout en gardant les deux mêmes résistances. Écrivez l’équation de KVL avant de résoudre, puis vérifiez que les chutes de tension dans les résistances s’additionnent toujours pour donner la tension de la source.