Θεόρημα του Πυθαγόρα — Τύπος και Ασκήσεις

Το θεόρημα του Πυθαγόρα αναφέρει ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υπο⊗ύσεως είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών. Αν οι $a$ και $b$ είναι οι κάθετες πλευρές και η $c$ είναι η υπο⊗ύσεως, ο τύπος είναι:

$a^2 + b^2 = c^2$

Μπορείς να τον χρησιμοποιήσεις μόνο αν υπάρχει μια γωνία $90^\circ$. Η υπο⊗ύσεως είναι η πλευρά απέναντι από αυτή τη γωνία και είναι επίσης η μεγαλύτερη πλευρά.

Τι λέει ο τύπος και πότε χρησιμοποιείται

Η σημαντική ιδέα δεν είναι το $a + b = c$, αλλά η σχέση μεταξύ των τετραγώνων. Το θεόρημα συγκρίνει εμβαδά που σχετίζονται με τις πλευρές, γι' αυτό εμφανίζονται τα $a^2$, $b^2$ και $c^2$.

Αν το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, αυτός ο τύπος δεν εφαρμόζεται ως έτσι. Αυτή η προϋπόθεση είναι ο πρώτος έλεγχος που πρέπει να κάνεις πριν αντικαταστήσεις τις τιμές.

Πώς να αναγνωρίσεις τις κάθετες πλευρές και την υπο⊗ύσεως

Πριν ξεκινήσεις τους υπολογισμούς, είναι χρήσιμο να ονομάσεις σωστά τις πλευρές. Αυτό αποτρέπει σχεδόν όλα τα λάθη στη διατύπωση.

• Κάθετες πλευρές: οι δύο πλευρές που σχηματίζουν τη γωνία των 90 μοιρών.
• Υπο⊗ύσεως: η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών.

Αν τοποθετήσεις μια άλλη πλευρά στη θέση του $c$, ο υπολογισμός μπορεί να φαίνεται τακτοποιημένος, αλλά θα είναι λανθασμένος από την αρχή.

Εξηγημένο παράδειγμα: εύρεση της υπο⊗ύσεως

Φαντάσου ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $6$ cm και $8$ cm. Θέλουμε να βρούμε την υπο⊗ύσεως.

Διαμορφώνουμε τον τύπο:

$6^2 + 8^2 = c^2$

Υπολογίζουμε:

$36 + 64 = c^2$

Προσθέτουμε:

$100 = c^2$

Παίρνουμε τη θετική τετραγωνική ρίζα:

$c = 10$

Η υπο⊗ύσεως είναι $10$ cm. Το αποτέλεσμα είναι λογικό, καθώς πρέπει να είναι μεγαλύτερο από $6$ cm και $8$ cm.

Συνηθισμένα λάθη κατά την εφαρμογή του θεωρήματος

Το πιο συχνό λάθος είναι η χρήση του θεωρήματος σε τρίγωνο που δεν είναι ορθογώνιο. Χωρίς ορθή γωνία, αυτή η σχέση γενικά δεν ισχύει.

Ένα άλλο τυπικό λάθος είναι η σύγχυση της υπο⊗ύσεως με μια κάθετη πλευρά. Θυμήσου ότι το $c$ δεν είναι μια τυχαία πλευρά: είναι η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία.

Επίσης, είναι σημαντικό να ξεχωρίζεις ποια πλευρά ψάχνεις. Αν θέλεις να βρεις μια κάθετη πλευρά, δεν πρέπει να προσθέσεις δύο γνωστά τετράγωνα. Για παράδειγμα, αν γνωρίζεις το $c$ και το $b$, τότε:

$a^2 = c^2 - b^2$

Ένα ακόμα λάθος είναι να σταματήσεις πολύ νωρίς. Αν φτάσεις στο $c^2 = 100$, το ζητούμενο μήκος είναι το $c = 10$, όχι το $100$.

Πού χρησιμοποιείται το θεόρημα του Πυθαγόρα

Το θεόρημα του Πυθαγόρα εμφανίζεται στη βασική γεωμετρία, στις διαγώνιους των ορθογωνίων και σε προβλήματα απόστασης σε ένα πλέγμα ή στο καρτεσιανό επίπεδο.

Για παράδειγμα, αν κινηθείς $3$ μονάδες οριζόντια και $4$ κάθετα, η απευθείας απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους είναι:

$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Η ίδια ιδέα επανέρχεται αργότερα στον τύπο της απόστασης μεταξύ δύο σημείων.

Τι πρέπει να θυμάσαι

Πριν χρησιμοποιήσεις τον τύπο, ελέγξτε δύο πράγματα: αν υπάρχει ορθή γωνία και αν έχεις αναγνωρίσει σωστά την υπο⊗ύσεως. Αν αυτές οι συνθήκες πληρούνται, το θεόρημα είναι συνήθως το σωστό εργαλείο.

Δοκίμασε μια παρόμοια άσκηση

Προσπάθησε να λύσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $5$ και $12$. Αν εφαρμόσεις σωστά τον τύπο, θα πρέπει να βρεις υπο⊗ύσεως $13$.

Αν θέλεις να πας ένα βήμα παραπέρα, εξερεύνησε στη συνέχεια ένα πρόβλημα απόστασης μεταξύ δύο σημείων: χρησιμοποίησε την ίδια ιδέα, αλλά τώρα στο επίπεδο.