Méthodes numériques : Newton-Raphson, Euler et Runge-Kutta

Les méthodes numériques sont des algorithmes qui donnent des réponses approchées. Newton-Raphson sert à trouver une racine d’une équation comme $f(x)=0$, tandis qu’Euler et Runge-Kutta servent à approcher les solutions d’équations différentielles.

Si vous voulez seulement la distinction rapide, la voici : Newton-Raphson met à jour une estimation de $x$ ; Euler et Runge-Kutta font avancer une solution dans le temps. Leur efficacité dépend de conditions comme une estimation initiale raisonnable, une dérivée exploitable, ou une taille de pas $h$ suffisamment petite pour le problème.

À quoi sert chaque méthode numérique

Newton-Raphson : trouver une racine

Si vous cherchez une valeur de $x$ telle que $f(x)=0$, la méthode de Newton-Raphson met à jour une estimation en suivant la tangente :

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

L’idée est simple : si le graphe est régulier près de la racine, la tangente fournit un modèle linéaire local, et son intersection avec l’axe peut donner une meilleure estimation que le point actuel.

Cette méthode fonctionne souvent bien lorsque $f$ est dérivable, que $f'(x_n) \ne 0$, et que l’estimation initiale est déjà proche d’une racine simple. Si ces conditions ne sont pas remplies, la méthode peut stagner, s’éloigner de la racine ou diverger.

Par exemple, avec $f(x)=x^2-2$ et $x_0=1.5$,

$$x_1 = 1.5 - \frac{1.5^2 - 2}{2(1.5)} = 1.4167$$

et un pas de plus donne environ $1.4142$, ce qui est déjà proche de $\sqrt{2}$.

Méthode d’Euler : une pente, un pas

Pour un problème à condition initiale

$$y' = f(t,y), \qquad y(t_0)=y_0,$$

la méthode d’Euler utilise la pente actuelle pour avancer :

$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$

C’est l’approximation la plus simple : on avance d’un pas $h$ en utilisant la pente connue à l’instant présent. Cela rend la méthode d’Euler facile à apprendre et à programmer, mais son erreur peut croître rapidement si $h$ est trop grand ou si la solution varie vite.

Méthode de Runge-Kutta : plusieurs évaluations de pente dans un même pas

Les méthodes de Runge-Kutta améliorent Euler en échantillonnant l’information sur la pente plusieurs fois à l’intérieur d’un même pas. Dans les cours d’introduction, « Runge-Kutta » désigne souvent la méthode classique d’ordre 4, RK4 :

$$k_1 = f(t_n, y_n), \qquad k_2 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right),$$ $$k_3 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right), \qquad k_4 = f(t_n + h, y_n + hk_3)$$ $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$

RK4 prend une moyenne pondérée de plusieurs estimations de pente, donc il suit en général la courbe bien mieux qu’Euler pour une même taille de pas.

Exemple détaillé : Euler contre Runge-Kutta sur la même EDO

Prenons

$$y' = y, \qquad y(0)=1$$

et utilisons un pas de taille $h=0.1$ pour estimer $y(0.1)$.

Pas d’Euler

À $t=0$, la valeur actuelle est $y_0=1$, donc la pente vaut

$$f(0,1)=1$$

Euler donne

$$y_1 = 1 + 0.1(1) = 1.1$$

Pas RK4

Utilisons maintenant le même problème avec RK4 :

$$k_1 = 1$$ $$k_2 = 1 + \frac{0.1}{2}(1) = 1.05$$ $$k_3 = 1 + \frac{0.1}{2}(1.05) = 1.0525$$ $$k_4 = 1 + 0.1(1.0525) = 1.10525$$

Donc

$$y_1 = 1 + \frac{0.1}{6}(1 + 2(1.05) + 2(1.0525) + 1.10525)$$ $$y_1 \approx 1.105170833$$

Pour cette équation, la valeur exacte est $e^{0.1} \approx 1.105170918$, donc le pas RK4 est bien plus proche que le pas d’Euler.

C’est la leçon principale. Euler utilise la pente seulement à l’extrémité gauche. RK4 échantillonne la façon dont la pente évolue pendant le pas, donc il donne en général une meilleure image locale.

Quand utiliser Newton-Raphson, Euler ou Runge-Kutta

Utilisez Newton-Raphson lorsque le but est de résoudre une équation non linéaire et que vous pouvez calculer ou approcher la dérivée. Utilisez Euler lorsque vous voulez comprendre l’idée de base d’une progression pas à pas dans une EDO ou obtenir une référence rapide.

Utilisez Runge-Kutta, en particulier RK4, lorsque vous voulez un gain de précision pratique sans changer la formulation du problème. Si l’EDO est raide, cependant, ni Euler ni RK4 classique ne sont toujours de bons choix ; la méthode doit être adaptée à l’équation.

Erreurs fréquentes en méthodes numériques

Confondre les types de problèmes

Newton-Raphson sert à trouver des racines d’équations. Euler et Runge-Kutta servent aux équations différentielles. Si vous choisissez la mauvaise famille de méthodes, la mise en place est déjà incorrecte avant même de calculer.

Supposer que la méthode convergera toujours

Newton-Raphson peut échouer si l’estimation initiale est mauvaise ou si $f'(x)$ est très petit près de l’itéré. Les méthodes d’Euler et de Runge-Kutta peuvent mal se comporter si la taille du pas est trop grande pour le problème.

Considérer la taille du pas comme un détail mineur

Pour les méthodes d’EDO, la taille du pas $h$ fait partie intégrante de la méthode, ce n’est pas un détail secondaire. Un $h$ plus petit améliore souvent la précision, mais augmente aussi le coût, et pour certains problèmes difficiles il faut des méthodes conçues pour la raideur plutôt qu’un simple pas plus petit.

Oublier que la réponse est approchée

Un résultat numérique avec beaucoup de chiffres n’est pas automatiquement plus fiable. La vraie question est de savoir si l’approximation est stable, convergente et suffisamment précise pour l’objectif visé.

Où les méthodes numériques sont utilisées

Les méthodes numériques apparaissent dès que le modèle est clair mais qu’une réponse symbolique exacte est peu pratique ou indisponible. Cela inclut la physique, l’ingénierie, l’optimisation, la finance et le calcul scientifique.

Le schéma général est pratique plutôt que théorique : on veut une réponse suffisamment précise pour prendre une décision. C’est pourquoi vérifier la convergence, l’effet de la taille du pas ou la sensibilité à l’estimation initiale est aussi important que d’écrire la formule.

Essayez un problème similaire

Reprenez le même exemple d’EDO avec $h=0.05$ au lieu de $0.1$ et comparez de nouveau la réponse d’Euler à celle de RK4. Ensuite, essayez Newton-Raphson sur $f(x)=x^2-3$ à partir de $x_0=2$ et observez à quelle vitesse les itérés se rapprochent de $\sqrt{3}$.