Metode Numerik: Newton-Raphson, Euler, dan Runge-Kutta

Metode numerik adalah algoritma untuk memperoleh jawaban hampiran. Newton-Raphson digunakan untuk mencari akar suatu persamaan seperti $f(x)=0$, sedangkan Euler dan Runge-Kutta digunakan untuk menghampiri solusi persamaan diferensial.

Jika Anda hanya butuh perbedaan singkatnya, ini intinya: Newton-Raphson memperbarui tebakan untuk $x$; Euler dan Runge-Kutta melangkahkan solusi maju terhadap waktu. Apakah metode-metode ini bekerja dengan baik bergantung pada kondisi seperti tebakan awal yang masuk akal, turunan yang bisa digunakan, atau ukuran langkah $h$ yang cukup kecil untuk masalah tersebut.

Kegunaan masing-masing metode numerik

Newton-Raphson: mencari akar

Jika Anda ingin nilai $x$ sehingga $f(x)=0$, Newton-Raphson memperbarui tebakan dengan mengikuti garis singgung:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Intuisinya sederhana: jika grafiknya mulus di dekat akar, garis singgung menjadi model linear lokal, dan titik potongnya bisa menjadi tebakan yang lebih baik daripada titik saat ini.

Metode ini cenderung bekerja baik ketika $f$ dapat diturunkan, $f'(x_n) \ne 0$, dan tebakan awal sudah dekat dengan akar sederhana. Jika syarat-syarat itu gagal, metode ini bisa berhenti, melompat menjauh dari akar, atau divergen.

Sebagai contoh, dengan $f(x)=x^2-2$ dan $x_0=1.5$,

$$x_1 = 1.5 - \frac{1.5^2 - 2}{2(1.5)} = 1.4167$$

dan satu langkah lagi menghasilkan sekitar $1.4142$, yang sudah dekat dengan $\sqrt{2}$.

Metode Euler: satu kemiringan, satu langkah

Untuk masalah nilai awal

$$y' = f(t,y), \qquad y(t_0)=y_0,$$

metode Euler memakai kemiringan saat ini untuk melangkah maju:

$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$

Ini adalah pendekatan paling sederhana: maju sejauh ukuran langkah $h$ dengan memakai kemiringan yang diketahui saat ini. Karena itu Euler mudah dipelajari dan diterapkan, tetapi galatnya bisa tumbuh cepat jika $h$ terlalu besar atau solusinya berubah dengan cepat.

Metode Runge-Kutta: beberapa pemeriksaan kemiringan dalam satu langkah

Metode Runge-Kutta memperbaiki Euler dengan mengambil informasi kemiringan lebih dari sekali di dalam langkah yang sama. Dalam mata kuliah pengantar, "Runge-Kutta" sering berarti metode orde empat klasik RK4:

$$k_1 = f(t_n, y_n), \qquad k_2 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right),$$ $$k_3 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right), \qquad k_4 = f(t_n + h, y_n + hk_3)$$ $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$

RK4 mengambil rata-rata berbobot dari beberapa perkiraan kemiringan, sehingga biasanya mengikuti kurva jauh lebih baik daripada Euler untuk ukuran langkah yang sama.

Contoh kerja: Euler vs. Runge-Kutta pada ODE yang sama

Ambil

$$y' = y, \qquad y(0)=1$$

dan gunakan satu langkah berukuran $h=0.1$ untuk memperkirakan $y(0.1)$.

Langkah Euler

Pada $t=0$, nilai saat ini adalah $y_0=1$, sehingga kemiringannya

$$f(0,1)=1$$

Euler memberi

$$y_1 = 1 + 0.1(1) = 1.1$$

Langkah RK4

Sekarang gunakan masalah yang sama dengan RK4:

$$k_1 = 1$$ $$k_2 = 1 + \frac{0.1}{2}(1) = 1.05$$ $$k_3 = 1 + \frac{0.1}{2}(1.05) = 1.0525$$ $$k_4 = 1 + 0.1(1.0525) = 1.10525$$

Jadi

$$y_1 = 1 + \frac{0.1}{6}(1 + 2(1.05) + 2(1.0525) + 1.10525)$$ $$y_1 \approx 1.105170833$$

Untuk persamaan ini, nilai eksaknya adalah $e^{0.1} \approx 1.105170918$, jadi langkah RK4 jauh lebih dekat daripada langkah Euler.

Itulah pelajaran utamanya. Euler hanya memakai kemiringan di titik ujung kiri. RK4 mengambil sampel bagaimana kemiringan berubah selama langkah, sehingga biasanya memberi gambaran lokal yang lebih baik.

Kapan memakai Newton-Raphson, Euler, atau Runge-Kutta

Gunakan Newton-Raphson ketika tugasnya adalah menyelesaikan persamaan nonlinier dan Anda bisa menghitung atau menghampiri turunannya. Gunakan Euler ketika Anda ingin memahami ide dasar melangkah melalui ODE atau membutuhkan acuan awal yang cepat.

Gunakan Runge-Kutta, terutama RK4, ketika Anda ingin peningkatan akurasi yang praktis tanpa mengubah bentuk masalah. Namun, jika ODE bersifat stiff, baik Euler maupun RK4 klasik tidak selalu menjadi pilihan yang baik; metodenya harus sesuai dengan persamaannya.

Kesalahan umum dalam metode numerik

Mencampuradukkan jenis masalah

Newton-Raphson untuk akar persamaan. Euler dan Runge-Kutta untuk persamaan diferensial. Jika Anda memilih keluarga metode yang salah, penyusunannya sudah salah bahkan sebelum mulai menghitung.

Menganggap metode akan selalu konvergen

Newton-Raphson bisa gagal jika tebakan awal buruk atau jika $f'(x)$ sangat kecil di dekat iterasi. Metode Euler dan RK bisa berperilaku buruk jika ukuran langkah terlalu besar untuk masalah tersebut.

Menganggap ukuran langkah sebagai detail kecil

Untuk metode ODE, ukuran langkah $h$ adalah bagian dari metode, bukan hal tambahan belakangan. Nilai $h$ yang lebih kecil sering meningkatkan akurasi, tetapi juga menambah biaya komputasi, dan untuk beberapa masalah sulit Anda mungkin memerlukan metode yang dirancang untuk stiffness, bukan sekadar langkah yang lebih kecil.

Lupa bahwa jawabannya adalah hampiran

Keluaran numerik dengan banyak digit tidak otomatis lebih dapat dipercaya. Pertanyaan yang berguna adalah apakah hampiran itu stabil, konvergen, dan cukup akurat untuk tujuan yang diinginkan.

Di mana metode numerik digunakan

Metode numerik muncul ketika modelnya jelas tetapi jawaban simbolik eksak tidak praktis atau tidak tersedia. Ini mencakup fisika, teknik, optimisasi, keuangan, dan komputasi ilmiah.

Pola umumnya bersifat praktis, bukan teoretis: Anda menginginkan jawaban yang cukup akurat untuk keputusan yang perlu diambil. Itulah sebabnya memeriksa konvergensi, pengaruh ukuran langkah, atau sensitivitas terhadap tebakan awal sama pentingnya dengan menuliskan rumusnya.

Coba soal serupa

Coba contoh ODE yang sama dengan $h=0.05$ alih-alih $0.1$ dan bandingkan lagi jawaban Euler dengan jawaban RK4. Lalu coba Newton-Raphson pada $f(x)=x^2-3$ mulai dari $x_0=2$ dan lihat seberapa cepat iterasinya bergerak menuju $\sqrt{3}$.