Métodos Numéricos: Newton-Raphson, Euler e Runge-Kutta

Métodos numéricos são algoritmos para obter respostas aproximadas. Newton-Raphson é usado para encontrar uma raiz de uma equação como $f(x)=0$, enquanto Euler e Runge-Kutta são usados para aproximar soluções de equações diferenciais.

Se você só precisa da distinção rápida, é esta: Newton-Raphson atualiza uma estimativa para $x$; Euler e Runge-Kutta avançam uma solução no tempo. O bom funcionamento depende de condições como uma estimativa inicial razoável, uma derivada utilizável ou um tamanho de passo $h$ pequeno o suficiente para o problema.

Para que serve cada método numérico

Newton-Raphson: encontrar uma raiz

Se você quer um valor de $x$ tal que $f(x)=0$, Newton-Raphson atualiza uma estimativa seguindo a reta tangente:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

A intuição é simples: se o gráfico é suave perto da raiz, a reta tangente é um modelo linear local, e sua interseção pode ser uma estimativa melhor do que o ponto atual.

Isso costuma funcionar bem quando $f$ é diferenciável, $f'(x_n) \ne 0$ e a estimativa inicial já está perto de uma raiz simples. Se essas condições falharem, o método pode estagnar, se afastar da raiz ou divergir.

Por exemplo, com $f(x)=x^2-2$ e $x_0=1.5$,

$$x_1 = 1.5 - \frac{1.5^2 - 2}{2(1.5)} = 1.4167$$

e mais um passo dá cerca de $1.4142$, que já está perto de $\sqrt{2}$.

Método de Euler: uma inclinação, um passo

Para um problema de valor inicial

$$y' = f(t,y), \qquad y(t_0)=y_0,$$

o método de Euler usa a inclinação atual para avançar:

$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$

Essa é a aproximação mais simples: avançar com tamanho de passo $h$ usando a inclinação conhecida naquele instante. Isso torna Euler fácil de aprender e implementar, mas o erro pode crescer rapidamente se $h$ for grande demais ou se a solução variar rápido.

Método de Runge-Kutta: várias verificações de inclinação em um passo

Os métodos de Runge-Kutta melhoram o método de Euler ao amostrar a informação da inclinação mais de uma vez dentro do mesmo passo. Em cursos introdutórios, "Runge-Kutta" muitas vezes significa o método clássico de quarta ordem RK4:

$$k_1 = f(t_n, y_n), \qquad k_2 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right),$$ $$k_3 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right), \qquad k_4 = f(t_n + h, y_n + hk_3)$$ $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$

O RK4 faz uma média ponderada de várias estimativas de inclinação, então normalmente acompanha a curva muito melhor do que Euler para o mesmo tamanho de passo.

Exemplo resolvido: Euler vs. Runge-Kutta na mesma EDO

Considere

$$y' = y, \qquad y(0)=1$$

e use um passo de tamanho $h=0.1$ para estimar $y(0.1)$.

Passo de Euler

Em $t=0$, o valor atual é $y_0=1$, então a inclinação é

$$f(0,1)=1$$

Euler fornece

$$y_1 = 1 + 0.1(1) = 1.1$$

Passo de RK4

Agora use o mesmo problema com RK4:

$$k_1 = 1$$ $$k_2 = 1 + \frac{0.1}{2}(1) = 1.05$$ $$k_3 = 1 + \frac{0.1}{2}(1.05) = 1.0525$$ $$k_4 = 1 + 0.1(1.0525) = 1.10525$$

Então

$$y_1 = 1 + \frac{0.1}{6}(1 + 2(1.05) + 2(1.0525) + 1.10525)$$ $$y_1 \approx 1.105170833$$

Para essa equação, o valor exato é $e^{0.1} \approx 1.105170918$, então o passo de RK4 fica muito mais perto do que o passo de Euler.

Essa é a principal lição. Euler usa a inclinação apenas na extremidade esquerda. O RK4 amostra como a inclinação muda ao longo do passo, então normalmente fornece uma imagem local melhor.

Quando usar Newton-Raphson, Euler ou Runge-Kutta

Use Newton-Raphson quando a tarefa for resolver uma equação não linear e você puder calcular ou aproximar a derivada. Use Euler quando quiser a ideia básica de avançar por uma EDO ou precisar de uma referência inicial rápida.

Use Runge-Kutta, especialmente RK4, quando quiser um ganho prático de precisão sem mudar a formulação do problema. Se a EDO for rígida, porém, nem Euler nem o RK4 clássico são sempre boas escolhas; o método precisa combinar com a equação.

Erros comuns em métodos numéricos

Confundir os tipos de problema

Newton-Raphson é para raízes de equações. Euler e Runge-Kutta são para equações diferenciais. Se você escolher a família errada de métodos, a formulação já estará errada antes mesmo de calcular.

Supor que o método sempre vai convergir

Newton-Raphson pode falhar se a estimativa inicial for ruim ou se $f'(x)$ for muito pequena perto da iteração. Métodos de Euler e RK podem se comportar mal se o tamanho de passo for grande demais para o problema.

Tratar o tamanho de passo como um detalhe menor

Para métodos de EDO, o tamanho de passo $h$ faz parte do método, não é algo secundário. Um $h$ menor muitas vezes melhora a precisão, mas também aumenta o custo, e em alguns problemas difíceis você pode precisar de métodos projetados para rigidez, e não apenas de um passo menor.

Esquecer que a resposta é aproximada

Uma saída numérica com muitos dígitos não é automaticamente mais confiável. A pergunta útil é se a aproximação é estável, está convergindo e é precisa o suficiente para o objetivo.

Onde os métodos numéricos são usados

Métodos numéricos aparecem sempre que o modelo é claro, mas uma resposta simbólica exata é inconveniente ou indisponível. Isso inclui física, engenharia, otimização, finanças e computação científica.

O padrão comum é mais prático do que teórico: você quer uma resposta precisa o suficiente para a decisão que precisa tomar. Por isso, verificar convergência, efeitos do tamanho de passo ou sensibilidade à estimativa inicial é tão importante quanto escrever a fórmula.

Tente um problema parecido

Tente o mesmo exemplo de EDO com $h=0.05$ em vez de $0.1$ e compare novamente a resposta de Euler com a de RK4. Depois, tente Newton-Raphson em $f(x)=x^2-3$ começando de $x_0=2$ e veja quão rápido as iterações se aproximam de $\sqrt{3}$.