Métodos numéricos: Newton-Raphson, Euler y Runge-Kutta

Los métodos numéricos son algoritmos para obtener respuestas aproximadas. Newton-Raphson se usa para encontrar una raíz de una ecuación como $f(x)=0$, mientras que Euler y Runge-Kutta se usan para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales.

Si solo necesitas la diferencia rápida, es esta: Newton-Raphson actualiza una estimación de $x$; Euler y Runge-Kutta hacen avanzar una solución en el tiempo. Que funcionen bien depende de condiciones como una estimación inicial razonable, una derivada utilizable o un tamaño de paso $h$ lo bastante pequeño para el problema.

Para qué sirve cada método numérico

Newton-Raphson: encontrar una raíz

Si quieres un valor de $x$ tal que $f(x)=0$, Newton-Raphson actualiza una estimación siguiendo la recta tangente:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

La intuición es simple: si la gráfica es suave cerca de la raíz, la recta tangente es un modelo lineal local, y su intersección puede ser una mejor estimación que el punto actual.

Esto suele funcionar bien cuando $f$ es derivable, $f'(x_n) \ne 0$, y la estimación inicial ya está cerca de una raíz simple. Si esas condiciones fallan, el método puede estancarse, alejarse de la raíz de un salto o divergir.

Por ejemplo, con $f(x)=x^2-2$ y $x_0=1.5$,

$$x_1 = 1.5 - \frac{1.5^2 - 2}{2(1.5)} = 1.4167$$

y un paso más da aproximadamente $1.4142$, que ya está cerca de $\sqrt{2}$.

Método de Euler: una pendiente, un paso

Para un problema de valor inicial

$$y' = f(t,y), \qquad y(t_0)=y_0,$$

el método de Euler usa la pendiente actual para avanzar:

$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$

Es la aproximación más simple: avanzas con tamaño de paso $h$ usando la pendiente que conoces en ese momento. Eso hace que Euler sea fácil de aprender e implementar, pero su error puede crecer rápido si $h$ es demasiado grande o la solución cambia con rapidez.

Método de Runge-Kutta: varias comprobaciones de pendiente en un paso

Los métodos de Runge-Kutta mejoran a Euler al muestrear la información de la pendiente más de una vez dentro del mismo paso. En cursos introductorios, "Runge-Kutta" suele referirse al método clásico de cuarto orden RK4:

$$k_1 = f(t_n, y_n), \qquad k_2 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right),$$ $$k_3 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right), \qquad k_4 = f(t_n + h, y_n + hk_3)$$ $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$

RK4 toma un promedio ponderado de varias estimaciones de pendiente, así que normalmente sigue la curva mucho mejor que Euler con el mismo tamaño de paso.

Ejemplo resuelto: Euler vs. Runge-Kutta en la misma EDO

Toma

$$y' = y, \qquad y(0)=1$$

y usa un paso de tamaño $h=0.1$ para estimar $y(0.1)$.

Paso de Euler

En $t=0$, el valor actual es $y_0=1$, así que la pendiente es

$$f(0,1)=1$$

Euler da

$$y_1 = 1 + 0.1(1) = 1.1$$

Paso de RK4

Ahora usa el mismo problema con RK4:

$$k_1 = 1$$ $$k_2 = 1 + \frac{0.1}{2}(1) = 1.05$$ $$k_3 = 1 + \frac{0.1}{2}(1.05) = 1.0525$$ $$k_4 = 1 + 0.1(1.0525) = 1.10525$$

Así que

$$y_1 = 1 + \frac{0.1}{6}(1 + 2(1.05) + 2(1.0525) + 1.10525)$$ $$y_1 \approx 1.105170833$$

Para esta ecuación, el valor exacto es $e^{0.1} \approx 1.105170918$, así que el paso de RK4 está mucho más cerca que el paso de Euler.

Esa es la lección principal. Euler usa la pendiente solo en el extremo izquierdo. RK4 muestrea cómo cambia la pendiente durante el paso, así que normalmente da una mejor imagen local.

Cuándo usar Newton-Raphson, Euler o Runge-Kutta

Usa Newton-Raphson cuando la tarea sea resolver una ecuación no lineal y puedas calcular o aproximar la derivada. Usa Euler cuando quieras la idea básica de avanzar paso a paso en una EDO o necesites una referencia rápida.

Usa Runge-Kutta, especialmente RK4, cuando quieras una mejora práctica de precisión sin cambiar el planteamiento del problema. Sin embargo, si la EDO es rígida, ni Euler ni el RK4 clásico son siempre una buena elección; el método tiene que ajustarse a la ecuación.

Errores comunes en métodos numéricos

Confundir los tipos de problema

Newton-Raphson es para raíces de ecuaciones. Euler y Runge-Kutta son para ecuaciones diferenciales. Si eliges la familia de métodos equivocada, el planteamiento ya es incorrecto antes de empezar a calcular.

Suponer que el método siempre va a converger

Newton-Raphson puede fallar si la estimación inicial es mala o si $f'(x)$ es muy pequeña cerca de la iteración. Los métodos de Euler y RK pueden comportarse mal si el tamaño de paso es demasiado grande para el problema.

Tratar el tamaño de paso como un detalle menor

Para los métodos de EDO, el tamaño de paso $h$ es parte del método, no algo secundario. Un $h$ más pequeño suele mejorar la precisión, pero también aumenta el costo, y para algunos problemas difíciles puede que necesites métodos diseñados para rigidez en lugar de solo un paso más pequeño.

Olvidar que la respuesta es aproximada

Un resultado numérico con muchos dígitos no es automáticamente más fiable. La pregunta útil es si la aproximación es estable, está convergiendo y es lo bastante precisa para el propósito.

Dónde se usan los métodos numéricos

Los métodos numéricos aparecen siempre que el modelo está claro pero una respuesta simbólica exacta es incómoda o no está disponible. Eso incluye física, ingeniería, optimización, finanzas y computación científica.

El patrón común es práctico más que teórico: quieres una respuesta lo bastante precisa para la decisión que necesitas tomar. Por eso comprobar la convergencia, los efectos del tamaño de paso o la sensibilidad a la estimación inicial importa tanto como escribir la fórmula.

Prueba un problema similar

Prueba el mismo ejemplo de EDO con $h=0.05$ en lugar de $0.1$ y vuelve a comparar la respuesta de Euler con la de RK4. Luego prueba Newton-Raphson en $f(x)=x^2-3$ empezando desde $x_0=2$ y observa qué tan rápido las iteraciones se acercan a $\sqrt{3}$.