Προπαίδεια — Πλήρης πίνακας και συμβουλές απομνημόνευσης

Η προπαίδεια οργανώνει τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού των αριθμών από το $1$ έως το $9$ σε έναν πίνακα ή σε μια σειρά από ρυθμικές φράσεις. Σκοπός της είναι να σε βοηθά να σκέφτεσαι αμέσως το $56$ όταν βλέπεις μια πράξη όπως $7 \times 8$. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος χρήσης είναι απλός: βρες τη γραμμή του πρώτου αριθμού, βρες τη στήλη του δεύτερου αριθμού, και η τομή τους είναι η απάντησή σου.

Δεν πρόκειται μόνο για αποστήθιση. Αυτά τα βασικά γινόμενα χρησιμοποιούνται ξανά και ξανά αργότερα στη διαίρεση, στα κλάσματα, στον πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών και στους νοερούς υπολογισμούς.

Πλήρης πίνακας προπαίδειας

Πώς να διαβάζεις την προπαίδεια

Πολλοί ξεκινούν απομνημονεύοντας τις σειρές της προπαίδειας αντί να κοιτάζουν ολόκληρο τον πίνακα. Οι φράσεις είναι σύντομες και ρυθμικές, γεγονός που τις κάνει πιο εύκολες στην απομνημόνευση. Οι συνηθισμένες λίστες απομνημόνευσης περιλαμβάνουν συνήθως μόνο τους μη επαναλαμβανόμενους συνδυασμούς:

• 1 επί 1 κάνει 1
• 1 επί 2 κάνει 2, 1 επί 3 κάνει 3, 1 επί 4 κάνει 4, 1 επί 5 κάνει 5, 1 επί 6 κάνει 6, 1 επί 7 κάνει 7, 1 επί 8 κάνει 8, 1 επί 9 κάνει 9
• 2 επί 2 κάνει 4, 2 επί 3 κάνει 6, 2 επί 4 κάνει 8, 2 επί 5 κάνει 10, 2 επί 6 κάνει 12, 2 επί 7 κάνει 14, 2 επί 8 κάνει 16, 2 επί 9 κάνει 18
• 3 επί 3 κάνει 9, 3 επί 4 κάνει 12, 3 επί 5 κάνει 15, 3 επί 6 κάνει 18, 3 επί 7 κάνει 21, 3 επί 8 κάνει 24, 3 επί 9 κάνει 27
• 4 επί 4 κάνει 16, 4 επί 5 κάνει 20, 4 επί 6 κάνει 24, 4 επί 7 κάνει 28, 4 επί 8 κάνει 32, 4 επί 9 κάνει 36
• 5 επί 5 κάνει 25, 5 επί 6 κάνει 30, 5 επί 7 κάνει 35, 5 επί 8 κάνει 40, 5 επί 9 κάνει 45
• 6 επί 6 κάνει 36, 6 επί 7 κάνει 42, 6 επί 8 κάνει 48, 6 επί 9 κάνει 54
• 7 επί 7 κάνει 49, 7 επί 8 κάνει 56, 7 επί 9 κάνει 63
• 8 επί 8 κάνει 64, 8 επί 9 κάνει 72
• 9 επί 9 κάνει 81

Αυτές οι σειρές καλύπτουν τα βασικά γινόμενα από το $1$ έως το $9$. Επειδή ο πολλαπλασιασμός ακολουθεί την αντιμεταθετική ιδιότητα $a \times b = b \times a$, το να θυμάσαι ότι «7 επί 8 κάνει 56» σημαίνει ότι θυμάσαι και ότι «8 επί 7 κάνει 56».

Τι αναπαριστά η προπαίδεια

Αν και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι, ο πολλαπλασιασμός μπορεί να κατανοηθεί ως «πρόσθεση της ίδιας ποσότητας πολλές φορές». Για παράδειγμα:

$4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$

Γι' αυτό κάθε γραμμή του πίνακα έχει σταθερό ρυθμό. Για παράδειγμα, στη γραμμή του $6$ οι τιμές είναι $6, 12, 18, 24, \ldots$, και κάθε βήμα προς τα εμπρός προσθέτει ακόμη ένα $6$. Η αναγνώριση αυτών των μοτίβων είναι συνήθως πιο αξιόπιστη από τη μηχανική αποστήθιση μεμονωμένων πράξεων.

Παράδειγμα: πώς να βρεις το $7 \times 8 = 56$ με τον πίνακα

Κοίταξε πρώτα τη γραμμή του $7$ αριστερά και μετά τη στήλη του $8$ επάνω. Η τομή τους είναι το $56$, άρα:

$7 \times 8 = 56$

Αν προτιμάς τις ρυθμικές φράσεις, αντιστοιχεί άμεσα στο «7 επί 8 κάνει 56».

Υπάρχει ακόμη ένα σημείο που πρέπει να θυμάσαι στην πορεία:

$8 \times 7 = 56$

Όσο οι παράγοντες είναι ίδιοι, το γινόμενο μένει αμετάβλητο ακόμη κι αν αλλάξει η σειρά. Γι' αυτό ο πίνακας της προπαίδειας είναι συμμετρικός ως προς τη διαγώνιο.

Γρήγορες συμβουλές απομνημόνευσης

Εστίασε πρώτα στις πιο προβλέψιμες γραμμές

Η γραμμή του $1$ είναι απλώς οι ίδιοι οι αριθμοί, η γραμμή του $2$ είναι απλός διπλασιασμός, και η γραμμή του $5$ τελειώνει πάντα σε $0$ ή $5$. Αν κατακτήσεις πρώτα αυτές τις απλές γραμμές, το φορτίο της μνήμης μειώνεται σημαντικά.

Χρησιμοποίησε το «ένα βήμα ακόμη» για να βρεις την επόμενη απάντηση

Αν ήδη ξέρεις ότι $6 \times 7 = 42$, τότε το επόμενο κελί είναι απλώς:

$6 \times 8 = 42 + 6 = 48$

Αυτό είναι πολύ πρακτικό, γιατί αντιμετωπίζει τον πίνακα ως ακολουθία μοτίβων και όχι ως συλλογή απομονωμένων δεδομένων.

Απομνημόνευσε μόνο τα μισά για να καλύψεις τις περισσότερες πράξεις

Λόγω του $a \times b = b \times a$, ολόκληρος ο πίνακας είναι συμμετρικός. Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσεις το $3 \times 8$ και το $8 \times 3$ ως δύο εντελώς διαφορετικές πράξεις.

Συνηθισμένα λάθη κατά την εκμάθηση

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι η σύγχυση του πολλαπλασιασμού με την πρόσθεση. Για παράδειγμα, το $4 \times 6$ δεν είναι $4 + 6$· σημαίνει ότι προσθέτουμε το $6$ τέσσερις φορές, άρα το αποτέλεσμα είναι $24$.

Άλλο λάθος είναι να μπορείς να απαγγείλεις τη φράση αλλά να διστάζεις όταν η σειρά αντιστρέφεται. Αν ξέρεις ότι «6 επί 7 κάνει 42», πρέπει να ξέρεις αμέσως ότι $7 \times 6 = 42$.

Κάποιοι προσπαθούν να απομνημονεύσουν κάθε απάντηση μεμονωμένα, αγνοώντας τα μοτίβα. Έτσι είναι εύκολο να μπερδευτείς στις γραμμές του $6$, του $7$ και του $8$. Συνήθως είναι πιο σταθερό να εστιάζεις στο πόσο αυξάνεται κάθε γραμμή.

Πότε θα χρησιμοποιήσεις την προπαίδεια;

Είναι πιο συνηθισμένη στη βασική αριθμητική του δημοτικού, αλλά η χρησιμότητά της ξεπερνά την απλή απαγγελία. Στη διαίρεση συχνά πρέπει να σκέφτεσαι αντίστροφα: «τι επί τι κάνει αυτόν τον αριθμό;». Στην απλοποίηση κλασμάτων θα χρησιμοποιείς συχνά τις σχέσεις πολλαπλασιασμού μεταξύ μικρών ακεραίων.

Αν οι παράγοντες σε μια πράξη είναι μικροί, η άμεση ανάκληση της απάντησης από την προπαίδεια είναι συνήθως πιο γρήγορη από τον επανυπολογισμό.

Δοκίμασέ το μόνος σου

Προσπάθησε να απαντήσεις το $8 \times 6$ χωρίς να κοιτάξεις τον πίνακα. Αν δεν το θυμάσαι αμέσως, μην το πιέζεις — ξεκίνα από το $8 \times 5 = 40$ και πρόσθεσε ακόμη ένα $8$ για να πάρεις:

$8 \times 6 = 48$

Αυτή η μέθοδος του «να παράγεις την επόμενη απάντηση από μια ήδη γνωστή» είναι συχνά πιο αποτελεσματική για τη μακροπρόθεσμη μνήμη από την απλή επανάληψη. Για να συνεχίσεις την εξάσκηση, δοκίμασε πράξεις που μπερδεύονται εύκολα, όπως $7 \times 9$ και $8 \times 7$.

Αν θέλεις να πας ένα βήμα παραπέρα, γράψε όλα τα αποτελέσματα της γραμμής του $6$ ή του $7$ χωρίς να κοιτάξεις τον πίνακα, για να δεις αν μπορείς να παράγεις ολόκληρη τη γραμμή μόνο με τα μοτίβα.