积分公式表

积分公式表就是常见不定积分结果的速查表。你做题时最需要先判断的，不是“背了多少条公式”，而是这个被积函数能不能直接匹配标准形式。

如果表达式本身就是幂函数、 $1/x$ 、指数函数或常见三角函数，积分公式通常可以直接用；如果它是乘积、复合函数或结构比较复杂的分式，往往要先换元、分部积分或进一步化简。算完后再用求导验回去，这是最稳的检查方法。

常用积分公式表

类型	公式	使用条件或提醒
幂函数	$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	只在 $n \ne -1$ 时成立
对数型	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
指数函数	$\int e^x\,dx = e^x + C$	底数是自然常数 $e$
一般指数函数	$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$	要求 $a > 0$ 且 $a \ne 1$
正弦函数	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	容易漏掉负号
余弦函数	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	与上式符号不同
正割平方	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	常见于反求导题
反正切型	$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$	分母必须是 $1+x^2$ 的标准形式

还有一条常用规则是线性性质：

\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx

它说明和、差、常数倍通常可以分别处理，但这不意味着乘积也能直接拆开。一般来说，

\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)

积分公式里最容易错的是 $1/x$

幂函数公式里最重要的条件是 $n \ne -1$ 。因为当 $n=-1$ 时， $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$ ，这时原函数不是幂函数形式，而是对数形式：

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

这也是为什么很多学生把 $\int x^{-1}\,dx$ 直接写成 $\frac{x^0}{0}$ 会出错。分母变成 $0$ ，说明这个公式在这里已经不能用了。

例题：怎么用积分公式表解题

求

\int \left(3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}\right)\,dx

这个表达式是三项的和，每一项都能匹配到公式表，所以先分别积分。

第一项用幂函数公式：

\int 3x^2\,dx = x^3

第二项用正弦函数积分公式：

\int -4\sin x\,dx = 4\cos x

第三项用反正切型公式：

\int \frac{5}{1+x^2}\,dx = 5\arctan x

合并后得到

\int \left(3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5\arctan x + C

最稳的检查方法是立刻求导：

\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5\arctan x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}

能回到原式，说明结果是对的。

常见错误：公式会背也可能做错

1. 忘记写 $+C$

只要是不定积分，最后一般都要写积分常数 $+C$ 。如果题目是定积分，才是在代入上下限后得到具体数值。

2. 把 $x^{-1}$ 也当成幂函数

这是最常见的公式误用。 $\int x^{-1}\,dx$ 应该写成 $\ln|x| + C$ ，不能直接套幂函数公式。

3. 三角函数符号写反

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ ，而 $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ 。这两个公式长得很像，但符号不一样。

4. 看到乘积就硬套公式

如果被积函数像 $x e^x$ 、 $x\cos x$ 这样是乘积，通常需要分部积分；如果像 $\cos(3x+1)$ 这样带有内部函数，往往要先考虑换元。是否能直接套表，要先看结构。