積分公式表

積分公式表は、よく使われる不定積分の結果をまとめたクイックリファレンスです。問題を解く際にまず判断すべきは、「どれだけ多くの公式を暗記しているか」ではなく、「被積分関数が標準的な形式に直接当てはまるか」ということです。

式自体がべき関数、 $1/x$ 、指数関数、または一般的な三角関数である場合は、通常、積分公式を直接利用できます。一方で、積の形をしていたり、合成関数であったり、構造が複雑な分数式である場合は、まず置換積分や部分積分を行うか、さらに簡略化する必要があります。計算後、微分して元に戻るかを確認するのが、最も確実なチェック方法です。

よく使う積分公式表

タイプ	公式	使用条件または注意点
べき関数	$\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C$	$n \ne -1$ のときのみ成立
対数型	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
指数関数	$\int e^x\,dx = e^x + C$	底が自然定数 $e$
一般的な指数関数	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$ かつ $a \ne 1$ であること
正弦関数 (sin)	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	マイナス符号を忘れやすいので注意
余弦関数 (cos)	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	上記と符号が異なる
正割平方 (sec^2)	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	逆導関数の問題でよく登場する
逆正接型 (arctan)	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	分母が $1+x^2$ の標準形式であること

また、よく使われるルールとして「線形性」があります。

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

これは、和・差・定数倍はそれぞれ個別に処理できることを意味していますが、積まで直接分解できるという意味ではありません。一般的に、

$\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$

積分公式で最も間違えやすいのは $1/x$

べき関数の公式で最も重要な条件は $n \ne -1$ です。なぜなら、 $n=-1$ のとき、 $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$ となり、このときの原始関数はべき関数の形式ではなく、対数形式になるからです。

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

そのため、多くの学生が $\int x^{-1}\,dx$ をそのまま $\frac{x^0}{0}$ と書いてしまい、間違いが起こります。分母が $0$ になっているということは、この公式はここでは使えないというサインです。

例題：積分公式表を使って問題を解く

次を求めなさい。

$\int \left(3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}\right)\,dx$

この式は3つの項の和であり、それぞれの項が公式表に当てはまるため、まず個別に積分します。

第1項にべき関数の公式を適用：

$\int 3x^2\,dx = x^3$

第2項に正弦関数の積分公式を適用：

$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$

第3項に逆正接型の公式を適用：

$\int \frac{5}{1+x^2}\,dx = 5\arctan x$

これらをまとめると、

$\int \left(3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5\arctan x + C$

最も確実なチェック方法は、すぐに微分してみることです。

$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5\arctan x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}$

元の式に戻るため、結果は正しいことがわかります。

よくある間違い：公式を覚えていても間違える理由

1. $+C$ を書き忘れる

不定積分である限り、最後には必ず積分定数 $+C$ を書く必要があります。定積分の問題であれば、上端と下端を代入して具体的な数値を求めます。

2. $x^{-1}$ もべき関数だと思い込む

これは最も多い公式の誤用です。 $\int x^{-1}\,dx$ は $\ln|x| + C$ と書き換えるべきであり、直接べき関数の公式を適用することはできません。

3. 三角関数の符号を逆に書く

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ ですが、 $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ です。これら2つの公式は非常に似ていますが、符号が異なります。

4. 積の形を見ただけで公式を無理に当てはめる

被積分関数が $x e^x$ や $x\cos x$ のように積の形をしている場合は、通常、部分積分が必要です。また、 $\cos(3x+1)$ のように内部関数を持っている場合は、まず置換積分を検討してください。公式表を直接使えるかどうかは、まず構造を確認することが重要です。