적분 공식표

적분 공식표는 흔히 쓰이는 부정적분 결과들을 모아놓은 퀵 레퍼런스 시트와 같습니다. 문제를 풀 때 가장 먼저 판단해야 할 것은 "공식을 얼마나 많이 외웠는가"가 아니라, "피적분함수가 표준 형태와 일치하는가"입니다.

식 자체가 멱함수, $1/x$ , 지수함수 또는 일반적인 삼각함수라면 적분 공식을 바로 사용할 수 있습니다. 하지만 곱셈 형태거나 합성함수, 혹은 구조가 복잡한 분수식이라면 먼저 치환적분, 부분적분을 하거나 식을 더 단순하게 정리해야 합니다. 계산을 마친 후 미분을 통해 원래 식으로 돌아가는지 확인하는 것이 가장 확실한 검토 방법입니다.

자주 쓰이는 적분 공식표

유형	공식	사용 조건 및 주의사항
멱함수	$\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C$	$n \ne -1$ 일 때만 성립
로그형	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
지수함수	$\int e^x\,dx = e^x + C$	밑이 자연상수 $e$ 인 경우
일반 지수함수	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$ 및 $a \ne 1$ 조건 필요
사인 함수	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	마이너스(-) 부호를 빠뜨리기 쉬움
코사인 함수	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	위 공식과 부호가 다름
시컨트 제곱	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	역도함수 문제에서 자주 등장
아크탄젠트형	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	분모가 $1+x^2$ 의 표준 형태여야 함

또한 자주 쓰이는 규칙으로 선형성(Linearity)이 있습니다:

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

이는 합, 차, 상수배를 각각 나누어 처리할 수 있음을 의미합니다. 하지만 그렇다고 해서 곱셈까지 그대로 나누어 처리할 수 있다는 뜻은 아닙니다. 일반적으로 다음과 같습니다.

$\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$

적분 공식에서 가장 실수하기 쉬운 $1/x$

멱함수 공식에서 가장 중요한 조건은 $n \ne -1$ 입니다. $n=-1$ 일 때 $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$ 이 되며, 이때 원함수는 멱함수 형태가 아니라 로그 형태가 됩니다:

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

이것이 많은 학생들이 $\int x^{-1}\,dx$ 을 그대로 $\frac{x^0}{0}$ 라고 적어 틀리는 이유입니다. 분모가 $0$ 이 된다는 것은 이 공식이 더 이상 적용되지 않는다는 뜻입니다.

예제: 적분 공식표를 이용한 문제 풀이

다음 식을 구하세요.

$\int \left(3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}\right)\,dx$

이 식은 세 항의 합으로 이루어져 있으며, 각 항이 모두 공식표와 일치하므로 각각 적분합니다.

첫 번째 항은 멱함수 공식을 적용합니다:

$\int 3x^2\,dx = x^3$

두 번째 항은 사인 함수 적분 공식을 적용합니다:

$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$

세 번째 항은 아크탄젠트형 공식을 적용합니다:

$\int \frac{5}{1+x^2}\,dx = 5\arctan x$

이를 합치면 다음과 같습니다.

$\int \left(3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5\arctan x + C$

가장 확실한 검토 방법은 즉시 미분해 보는 것입니다:

$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5\arctan x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + \frac{5}{1+x^2}$

원래 식으로 돌아오므로 결과가 맞음을 알 수 있습니다.

흔한 실수: 공식을 외워도 틀리는 이유

1. $+C$ 을 빼먹는 경우

부정적분에서는 마지막에 항상 적분상수 $+C$ 를 써주어야 합니다. 정적분 문제일 때만 위끝과 아래끝을 대입하여 구체적인 수치를 얻게 됩니다.

2. $x^{-1}$ 을 멱함수로 착각하는 경우

가장 흔한 공식 오용 사례입니다. $\int x^{-1}\,dx$ 는 $\ln|x| + C$ 로 고쳐 써야 하며, 멱함수 공식을 그대로 적용해서는 안 됩니다.

3. 삼각함수 부호를 반대로 쓰는 경우

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ 이지만 $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ 입니다. 두 공식은 매우 비슷해 보이지만 부호가 다릅니다.

4. 곱셈 형태에 무작정 공식을 적용하는 경우

피적분함수가 $x e^x$ , $x\cos x$ 처럼 곱셈 형태라면 보통 부분적분이 필요합니다. $\cos(3x+1)$ 처럼 내부에 함수가 포함되어 있다면 먼저 치환적분을 고려해야 합니다. 공식표를 바로 쓸 수 있을지는 먼저 구조를 파악한 뒤 결정해야 합니다.