Bernoulli Denklemi

Bernoulli denklemi, akan bir akışkanda basınç, hız ve yükseklik arasındaki ilişkiyi açıklar. Yaygın giriş düzeyi biçiminde,

$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$$

sabit akışta, akışkan sıkıştırılamaz kabul edilebildiğinde ve viskoz kayıplar ihmal edilebilir olduğunda, aynı akım çizgisi boyunca geçerlidir. Temel fikir basittir: terimlerden biri artarsa, toplamın değişmeden kalması için diğerlerinden en az biri azalmalıdır.

Bernoulli denklemi ne anlama gelir

Denklemde

$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant},$$

$p$ akışkan basıncıdır, $\frac{1}{2}\rho v^2$ hızla ilişkili birim hacim başına kinetik enerji terimidir ve $\rho gh$ yükseklikle ilişkili birim hacim başına kütleçekimsel potansiyel enerji terimidir.

Bu, basıncın her zaman doğrudan hıza dönüştüğü anlamına gelmez. Anlamı, bu üç büyüklüğün tek bir enerji dengesi içinde birbirine bağlı olduğudur; gözlenen değiş tokuş ise incelediğiniz durumda hangi niceliklerin sabit kaldığına bağlıdır.

Basit Bernoulli denklemini ne zaman kullanabilirsiniz

Bernoulli denkleminin sınıfta kullanılan yaygın biçimi evrensel değildir. En güvenilir olduğu durumlar, şu koşulların makul ölçüde sağlandığı durumlardır:

• akış sabittir
• akışkanın yoğunluğu yaklaşık sabittir
• viskoz kayıplar ihmal edilecek kadar küçüktür
• aynı akım çizgisi üzerindeki noktaları karşılaştırıyorsunuzdur

Bu koşullar ciddi biçimde sağlanmıyorsa, basit denklem yanlış bir tablo verebilir. Örneğin gerçek boru akışında enerji çoğu zaman viskozite nedeniyle kaybolur; bu yüzden yükseklik veya hız değişmese bile basınç düşebilir.

Daha hızlı akış neden daha düşük basınç anlamına gelebilir

Yaygın bir durum, daralan yatay bir borudaki akıştır. Akışkan dar kesitte hızlanıyorsa ve yükseklik esasen aynı kalıyorsa, yükseklik terimi çok fazla değişmez.

Bu durumda ek kinetik terimin bir yerden gelmesi gerekir. Basit Bernoulli modelinde bu, daha düşük bir basınç teriminden gelir. Bu yüzden daha hızlı akış ile daha düşük basınç, aynı akım çizgisi örneğinde sık sık birlikte görülür.

Koşullar önemlidir. Bunu her akışkan durumunda “daha hızlı her zaman daha düşük basınç demektir” şeklinde genel bir kurala dönüştürmemelisiniz.

Çözümlü örnek: yatay bir boruda basınç düşüşü

Suyun yatay bir borudan aktığını varsayalım. 1 noktasında hız $v_1 = 2\ \mathrm{m/s}$ ve basınç $p_1 = 180000\ \mathrm{Pa}$ olsun. Borunun daha dar olduğu 2 noktasında hız $v_2 = 5\ \mathrm{m/s}$ olsun. Suyun yoğunluğunu $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ alın.

Boru yatay olduğu için iki noktanın aynı yükseklikte olduğunu kabul edebiliriz; dolayısıyla $\rho gh$ terimleri sadeleşir:

$$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$

Şimdi değerleri yerine yazalım:

$$180000 + \frac{1}{2}(1000)(2^2) = p_2 + \frac{1}{2}(1000)(5^2)$$ $$180000 + 2000 = p_2 + 12500$$ $$p_2 = 169500\ \mathrm{Pa}$$

Buna göre borunun daha hızlı akış olan kesitinde basınç daha düşüktür. Bu, standart Bernoulli örüntüsüdür; ancak burada yalnızca düzenek modele uyduğu için geçerlidir: aynı akım çizgisi, aynı yükseklik, sabit akış ve ihmal edilebilir kayıp.

Bernoulli denklemiyle ilgili yaygın hatalar

Onu evrensel bir kural gibi görmek

Bernoulli denklemi bu biçimiyle varsayımlara dayalı bir modeldir. Viskozite, türbülans, sıkıştırılabilirlik, pompalar veya büyük enerji kayıpları önemliyse, daha dikkatli bir analiz gerekir.

Yükseklik terimini unutmak

Bir nokta diğerinden daha yüksekteyse, $\rho gh$ terimi çok önemli olabilir. Öğrenciler çoğu zaman yalnızca basınç ve hıza odaklanır ve yüksekliğin rolünü gözden kaçırır.

Yanlış noktaları karşılaştırmak

Temel biçim genellikle bir akım çizgisi boyunca uygulanır. Akış geometrisini göz ardı ederek noktaları karşılaştırırsanız, vardığınız sonuç geçerli olmayabilir.

“Daha yüksek hız her zaman daha düşük basınç demektir” demek

Bu kısa yol yalnızca Bernoulli dengesinin geri kalanının bunu desteklediği belirli düzeneklerde işe yarar. Tüm akışkan hareketleri için geçerli genel bir ifade değildir.

Bernoulli denklemi nerelerde kullanılır

Bernoulli denklemi, basınç, hız ve yükseklik arasındaki ilişki için hızlı bir ilk model sunduğundan akışkanlar mekaniğinde, hidrolikte ve temel aerodinamikte kullanılır. Venturi metrelerde, Pitot tüpü ölçümlerinde, tank boşalma tahminlerinde ve idealleştirilmiş boru akışı problemlerinde karşınıza çıkar.

Uygulamada mühendisler çoğu zaman Bernoulli denklemiyle başlar, ardından gerçek sistem basit biçim için yeterince ideal değilse düzeltme terimleri veya kayıp terimleri ekler.

Benzer bir Bernoulli problemi deneyin

Örneği, 2 noktası 1 noktasından $3\ \mathrm{m}$ daha yüksekte olacak şekilde değiştirin ya da yüksekliği aynı tutup noktalardan birindeki hızı değiştirin. Sonra yeniden çözün ve değişimi hangi terimin karşıladığına bakın. Bundan sonra başka bir durumu incelemek isterseniz, çözücüde kendi sürümünüzü deneyin ve kurduğunuz düzeni sonuçla karşılaştırın.