Équation de Bernoulli

L’équation de Bernoulli explique comment la pression, la vitesse et la hauteur sont liées dans un fluide en écoulement. Dans sa forme introductive la plus courante,

$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$$

le long d’une ligne de courant pour un écoulement stationnaire lorsque le fluide peut être considéré comme incompressible et que les pertes visqueuses sont négligeables. L’idée principale est simple : si un terme augmente, au moins un des autres doit diminuer pour que le total reste inchangé.

Ce que signifie l’équation de Bernoulli

Dans l’équation

$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant},$$

$p$ est la pression du fluide, $\frac{1}{2}\rho v^2$ est le terme d’énergie cinétique par unité de volume lié à la vitesse, et $\rho gh$ est le terme d’énergie potentielle gravitationnelle par unité de volume lié à la hauteur.

Cela ne veut pas dire que la pression se transforme toujours directement en vitesse. Cela signifie que ces trois grandeurs sont liées dans un même bilan d’énergie, et que le compromis observable dépend de ce qui reste fixe dans la situation étudiée.

Quand on peut utiliser l’équation de Bernoulli simple

La forme habituelle de l’équation de Bernoulli vue en cours n’est pas universelle. Elle est surtout fiable lorsque les conditions suivantes sont raisonnablement vérifiées :

• l’écoulement est stationnaire
• la masse volumique du fluide est approximativement constante
• les pertes visqueuses sont assez faibles pour être négligées
• on compare des points situés sur la même ligne de courant

Si ces conditions ne sont pas du tout respectées, l’équation simple peut donner une image fausse de la situation. Dans un écoulement réel dans une conduite, par exemple, l’énergie est souvent perdue à cause de la viscosité, donc la pression peut diminuer même sans changement de hauteur ou de vitesse.

Pourquoi un écoulement plus rapide peut signifier une pression plus faible

Un cas courant est celui d’un écoulement dans une conduite horizontale qui se rétrécit. Si le fluide accélère dans la partie la plus étroite et que la hauteur reste essentiellement la même, le terme de hauteur varie très peu.

Le terme cinétique supplémentaire doit alors venir de quelque part. Dans le modèle simple de Bernoulli, il provient d’une diminution du terme de pression. C’est pourquoi une vitesse plus grande et une pression plus faible apparaissent souvent ensemble dans le même exemple le long d’une ligne de courant.

La condition est importante. Il ne faut pas transformer cela en règle disant que « plus rapide signifie toujours pression plus faible » dans toutes les situations de mécanique des fluides.

Exemple résolu : chute de pression dans une conduite horizontale

Supposons que de l’eau s’écoule dans une conduite horizontale. Au point 1, la vitesse est $v_1 = 2\ \mathrm{m/s}$ et la pression est $p_1 = 180000\ \mathrm{Pa}$. Au point 2, où la conduite est plus étroite, la vitesse est $v_2 = 5\ \mathrm{m/s}$. On prend pour l’eau une masse volumique $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$.

Comme la conduite est horizontale, on peut considérer que les deux points sont à la même hauteur, donc les termes en $\rho gh$ s’annulent :

$$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$

Remplaçons maintenant par les valeurs :

$$180000 + \frac{1}{2}(1000)(2^2) = p_2 + \frac{1}{2}(1000)(5^2)$$ $$180000 + 2000 = p_2 + 12500$$ $$p_2 = 169500\ \mathrm{Pa}$$

La pression est donc plus faible dans la partie de la conduite où la vitesse est plus grande. C’est le schéma classique de Bernoulli, mais il ne fonctionne ici que parce que la situation correspond au modèle : même ligne de courant, même hauteur, écoulement stationnaire et pertes négligeables.

Erreurs fréquentes avec l’équation de Bernoulli

La traiter comme une règle universelle

L’équation de Bernoulli sous cette forme est un modèle fondé sur des hypothèses. Si la viscosité, la turbulence, la compressibilité, les pompes ou de fortes pertes d’énergie jouent un rôle, il faut une analyse plus rigoureuse.

Oublier le terme de hauteur

Si un point est plus haut que l’autre, le terme $\rho gh$ peut être très important. Les élèves se concentrent souvent seulement sur la pression et la vitesse et oublient le rôle de l’altitude.

Comparer les mauvais points

La forme de base s’applique en général le long d’une ligne de courant. Si l’on compare des points en ignorant la géométrie de l’écoulement, la conclusion peut ne pas être valable.

Dire que « vitesse plus grande signifie toujours pression plus faible »

Ce raccourci ne fonctionne que dans des configurations particulières où le reste du bilan de Bernoulli le permet. Ce n’est pas une affirmation générale valable pour tout mouvement de fluide.

Où l’équation de Bernoulli est utilisée

L’équation de Bernoulli apparaît en mécanique des fluides, en hydraulique et dans les bases de l’aérodynamique, car elle fournit un premier modèle rapide du lien entre pression, vitesse et hauteur. On la retrouve dans les venturimètres, les mesures au tube de Pitot, les estimations de vidange de réservoir et les problèmes idéalisés d’écoulement dans les conduites.

En pratique, les ingénieurs commencent souvent par l’équation de Bernoulli, puis ajoutent des termes de correction ou de perte si le système réel n’est pas assez idéal pour la forme simple.

Essayez un problème de Bernoulli similaire

Modifiez l’exemple pour que le point 2 soit situé $3\ \mathrm{m}$ plus haut que le point 1, ou gardez la même hauteur et changez la vitesse en un point. Résolvez ensuite de nouveau et voyez quel terme absorbe la variation. Si vous voulez étudier un autre cas après cela, essayez votre propre version dans le solveur et comparez votre configuration au résultat.