สมการแบร์นูลลี

สมการแบร์นูลลีอธิบายว่าความดัน ความเร็ว และความสูงเชื่อมโยงกันอย่างไรในของไหลที่กำลังไหล ในรูปแบบพื้นฐานที่มักใช้ในการเรียนเบื้องต้นคือ

$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$$

ตามแนวเส้นกระแสสำหรับการไหลคงตัว เมื่อสามารถถือว่าของไหลไม่อัดตัวและการสูญเสียจากความหนืดมีค่าน้อยจนละเลยได้ แนวคิดหลักนั้นง่ายมาก: ถ้าพจน์หนึ่งเพิ่มขึ้น อย่างน้อยหนึ่งพจน์อื่นต้องลดลงเพื่อให้ผลรวมทั้งหมดคงเดิม

สมการแบร์นูลลีหมายความว่าอย่างไร

ในสมการ

$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant},$$

$p$ คือความดันของของไหล, $\frac{1}{2}\rho v^2$ คือพจน์พลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรที่สัมพันธ์กับความเร็ว, และ $\rho gh$ คือพจน์พลังงานศักย์โน้มถ่วงต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรที่สัมพันธ์กับความสูง

นี่ไม่ได้หมายความว่าความดันเปลี่ยนเป็นความเร็วโดยตรงเสมอไป แต่หมายความว่าปริมาณทั้งสามนี้เชื่อมโยงกันอยู่ในสมดุลพลังงานเดียวกัน และการแลกเปลี่ยนที่เห็นได้จะขึ้นอยู่กับว่าปริมาณใดคงที่ในสถานการณ์ที่คุณกำลังศึกษา

เมื่อใดที่ใช้สมการแบร์นูลลีแบบอย่างง่ายได้

สมการแบร์นูลลีในรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปในห้องเรียนไม่ได้ใช้ได้กับทุกกรณี จะเชื่อถือได้มากที่สุดเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้สมเหตุสมผล:

• การไหลเป็นแบบคงตัว
• ความหนาแน่นของของไหลค่อนข้างคงที่
• การสูญเสียจากความหนืดมีน้อยพอที่จะละเลยได้
• คุณกำลังเปรียบเทียบจุดที่อยู่บนแนวเส้นกระแสเดียวกัน

ถ้าเงื่อนไขเหล่านี้ใช้ไม่ได้อย่างชัดเจน สมการอย่างง่ายอาจให้ภาพที่ผิดได้ ตัวอย่างเช่น การไหลจริงในท่อมักสูญเสียพลังงานไปกับความหนืด ดังนั้นความดันอาจลดลงได้แม้ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของความสูงหรือความเร็ว

ทำไมการไหลที่เร็วขึ้นจึงอาจหมายถึงความดันที่ต่ำลง

กรณีที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือการไหลผ่านท่อแนวนอนที่ค่อย ๆ แคบลง ถ้าของไหลมีความเร็วเพิ่มขึ้นในส่วนที่แคบกว่า และความสูงแทบไม่เปลี่ยนแปลง

พจน์ความสูงจึงแทบไม่เปลี่ยนตามไปด้วย ดังนั้นพจน์พลังงานจลน์ที่เพิ่มขึ้นต้องมาจากที่ใดที่หนึ่ง ในแบบจำลองแบร์นูลลีอย่างง่าย มันมาจากพจน์ความดันที่ลดลง นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการไหลเร็วขึ้นและความดันต่ำลงจึงมักปรากฏคู่กันในตัวอย่างบนแนวเส้นกระแสเดียวกัน

เงื่อนไขมีความสำคัญ คุณไม่ควรเปลี่ยนสิ่งนี้ให้กลายเป็นกฎว่า “เร็วขึ้นแปลว่าความดันต่ำลงเสมอ” สำหรับทุกสถานการณ์ของการไหลของของไหล

ตัวอย่างคำนวณ: ความดันลดลงในท่อแนวนอน

สมมติว่าน้ำไหลผ่านท่อแนวนอน ที่จุด 1 ความเร็วคือ $v_1 = 2\ \mathrm{m/s}$ และความดันคือ $p_1 = 180000\ \mathrm{Pa}$ ที่จุด 2 ซึ่งท่อแคบกว่า ความเร็วคือ $v_2 = 5\ \mathrm{m/s}$ กำหนดให้ความหนาแน่นของน้ำเป็น $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$

เนื่องจากท่อเป็นแนวนอน เราจึงถือได้ว่าทั้งสองจุดมีความสูงเท่ากัน ดังนั้นพจน์ $\rho gh$ จึงตัดกันได้:

$$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$

แทนค่าลงไป:

$$180000 + \frac{1}{2}(1000)(2^2) = p_2 + \frac{1}{2}(1000)(5^2)$$ $$180000 + 2000 = p_2 + 12500$$ $$p_2 = 169500\ \mathrm{Pa}$$

ดังนั้นความดันจึงต่ำกว่าในส่วนของท่อที่ของไหลไหลเร็วกว่า นี่เป็นรูปแบบมาตรฐานของสมการแบร์นูลลี แต่ใช้ได้ในกรณีนี้เพียงเพราะการจัดสถานการณ์สอดคล้องกับแบบจำลอง: อยู่บนแนวเส้นกระแสเดียวกัน ความสูงเท่ากัน การไหลคงตัว และการสูญเสียมีน้อยจนละเลยได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับสมการแบร์นูลลี

มองว่าเป็นกฎสากล

สมการแบร์นูลลีในรูปแบบนี้เป็นแบบจำลองที่มีสมมติฐานรองรับ ถ้าความหนืด ความปั่นป่วน การอัดตัวได้ ปั๊ม หรือการสูญเสียพลังงานอย่างมากมีผลสำคัญ คุณต้องวิเคราะห์อย่างรอบคอบมากขึ้น

ลืมพจน์ความสูง

ถ้าจุดหนึ่งอยู่สูงกว่าอีกจุดหนึ่ง พจน์ $\rho gh$ อาจมีผลมาก นักเรียนมักสนใจเฉพาะความดันและความเร็ว แล้วมองข้ามบทบาทของระดับความสูง

เปรียบเทียบจุดผิด

รูปแบบพื้นฐานมักใช้ตามแนวเส้นกระแส ถ้าคุณเปรียบเทียบจุดโดยไม่คำนึงถึงเรขาคณิตของการไหล ข้อสรุปที่ได้อาจใช้ไม่ได้

พูดว่า “ความเร็วสูงกว่าหมายถึงความดันต่ำกว่าเสมอ”

ทางลัดนี้ใช้ได้เฉพาะในบางการจัดสถานการณ์ที่สมดุลแบบแบร์นูลลีส่วนอื่นรองรับเท่านั้น มันไม่ใช่ข้อความที่ใช้ได้ครอบคลุมกับการเคลื่อนที่ของของไหลทุกแบบ

สมการแบร์นูลลีถูกใช้ที่ไหน

สมการแบร์นูลลีปรากฏในกลศาสตร์ของไหล ไฮดรอลิกส์ และอากาศพลศาสตร์เบื้องต้น เพราะมันเป็นแบบจำลองแรกที่รวดเร็วสำหรับอธิบายว่าความดัน ความเร็ว และความสูงเชื่อมโยงกันอย่างไร คุณจะพบมันในเวนจูรีมิเตอร์ การวัดด้วยหลอดพิโตต์ การประมาณการระบายน้ำจากถัง และโจทย์การไหลในท่อแบบอุดมคติ

ในทางปฏิบัติ วิศวกรมักเริ่มจากสมการแบร์นูลลี แล้วจึงเพิ่มพจน์แก้ไขหรือพจน์การสูญเสีย หากระบบจริงไม่อุดมคติพอสำหรับรูปแบบอย่างง่าย

ลองทำโจทย์แบร์นูลลีที่คล้ายกัน

เปลี่ยนตัวอย่างโดยให้จุด 2 สูงกว่าจุด 1 อยู่ $3\ \mathrm{m}$ หรือคงความสูงเท่าเดิมแล้วเปลี่ยนความเร็วที่จุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นแก้อีกครั้งและดูว่าพจน์ใดเป็นตัวรับการเปลี่ยนแปลง ถ้าคุณอยากสำรวจอีกกรณีหนึ่งหลังจากนั้น ลองตั้งโจทย์ในแบบของคุณเองในตัวแก้โจทย์ แล้วเปรียบเทียบการตั้งค่าของคุณกับผลลัพธ์