Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung beschreibt, wie sich ein Quantenzustand in der nichtrelativistischen Quantenmechanik verändert. Wenn du die Wellenfunktion $\psi$ und die potenzielle Energie $V$ kennst, sagt dir diese Gleichung, wie sich $\psi$ entwickelt und welche Energiezustände erlaubt sind.

Für ein Teilchen in drei Dimensionen schreibt man die zeitabhängige Gleichung üblicherweise als

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right)\psi$$

Hier ist $m$ die Teilchenmasse, $V$ die potenzielle Energie und $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Das ist der übliche Ausgangspunkt, wenn ein nichtrelativistisches Modell passend ist, also wenn relativistische Effekte klein genug sind, um sie zu vernachlässigen.

Was die Schrödinger-Gleichung bedeutet

Die Gleichung verknüpft zwei Ideen: wie sich die Wellenfunktion mit der Zeit ändert und wie die Energie des Systems auf diese Wellenfunktion wirkt. Der Term mit $\nabla^2$ hängt mit der kinetischen Energie zusammen, während $V$ die potenzielle Energie darstellt.

Du solltest $\psi$ nicht als klassische Welle wie die Höhe einer Wasseroberfläche lesen. In der Standardinterpretation ist die messbare Größe $|\psi|^2$, das nach der Normierung eine Wahrscheinlichkeitsdichte angibt.

Das ist der entscheidende Unterschied zur klassischen Mechanik. Die Gleichung sagt normalerweise nicht einen einzigen exakten Weg eines Teilchens voraus. Sie beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeitsstruktur des Systems verändert.

Wann die zeitunabhängige Form gilt

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist die allgemeine Form. Eine zweite Form tritt nur dann auf, wenn das Potenzial nicht von der Zeit abhängt und du nach stationären Zuständen mit bestimmter Energie suchst.

In einer Dimension lautet diese zeitunabhängige Form

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

Das ist kein anderes Gesetz. Es ist ein Spezialfall der zeitabhängigen Gleichung unter genau diesen Bedingungen. Wenn sich das Potenzial mit der Zeit ändert, solltest du nicht erwarten, dass diese einfachere Form die gesamte Situation beschreibt.

Durchgerechnetes Beispiel: Teilchen in einem eindimensionalen Kasten

Ein Standardbeispiel ist ein Teilchen, das zwischen $x=0$ und $x=L$ eingeschlossen ist, mit der potenziellen Energie

$$V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & \text{außerhalb des Kastens} \end{cases}$$

Im Kasten ist das Potenzial null, daher wird die zeitunabhängige Gleichung zu

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} = E\psi$$

An den Wänden muss die Wellenfunktion verschwinden:

$$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0$$

Diese Randbedingungen schließen die meisten mathematischen Lösungen aus und lassen nur bestimmte stationäre Zustände übrig:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad n = 1,2,3,\dots$$

und die erlaubten Energien sind

$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$$

Das ist die wichtigste Idee, die du dir merken solltest. Die Gleichung allein reicht nicht aus; auch die Randbedingungen sind wichtig. Zusammen erlauben sie nur eine diskrete Menge von Energien statt jedes beliebigen Werts.

Wenn der Kasten größer wird, werden die erlaubten Energien kleiner, weil $E_n \propto 1/L^2$ gilt. Wenn der Kasten kleiner wird, liegen die Energieniveaus weiter auseinander.

Warum dieses Beispiel Quantenmechanik anschaulich macht

Das Modell des Teilchens im Kasten ist einfach, macht aber eine quantenmechanische Idee sehr schnell klar: räumliche Einschließung kann zu quantisierter Energie führen. Dasselbe Muster taucht allgemeiner in Atomen, Quantenmulden und anderen gebundenen Systemen auf.

Es zeigt auch, warum Randbedingungen kein nebensächliches Detail sind. In der Quantenmechanik sind der physikalische Aufbau und die erlaubten Wellenfunktionen eng miteinander verknüpft.

Häufige Fehler bei der Schrödinger-Gleichung

• $\psi$ selbst als Wahrscheinlichkeit zu behandeln. In der Standardinterpretation ist die Wahrscheinlichkeitsdichte nach der Normierung $|\psi|^2$.
• Die zeitunabhängige Gleichung so zu verwenden, als würde sie immer gelten. Sie ist nur für Probleme mit stationären Zuständen und zeitunabhängigem Potenzial das richtige Werkzeug.
• Zu erwarten, dass die Gleichung eine exakte klassische Bahn liefert. Im Allgemeinen entwickelt sie eine Wellenfunktion, nicht einen einzelnen Weg.
• Zu vergessen, dass Randbedingungen ändern können, welche Lösungen physikalisch erlaubt sind.

Wo die Schrödinger-Gleichung verwendet wird

Sie wird in der Atomphysik, Molekülphysik, bei Tunnelproblemen, in Halbleitermodellen und in vielen Bereichen der Quantenchemie verwendet. In jedem Fall ändern sich das genaue Potenzial und die Details des Systems, aber derselbe grundlegende Rahmen bleibt erhalten.

Bei sehr hohen Geschwindigkeiten oder wenn relativistische Effekte wichtig werden, ist die Schrödinger-Gleichung kein vollständiges Modell. In diesem Bereich werden weiterführende Gleichungen benötigt.

Probiere eine ähnliche Änderung aus

Behalte denselben Kasten bei, aber ersetze $L$ durch $2L$. Ohne viel Algebra vorherzusagen: Was passiert mit $E_1$ und mit dem Abstand zwischen benachbarten Energieniveaus? Wenn du danach einen nützlichen Vergleich willst, schau dir die Wellengleichung an und beachte, wie beide Gleichungen Differentialgleichungen mit physikalischen Bedingungen verknüpfen, aber auf unterschiedliche Weise.